8.4. Питання для захисту роботи

1. Що таке орієнтовані графи?

2. Що таке сіткові графіки (СГ)?

3. У якому випадку використовують СГ для вирішення задач?

4. Що таке критичний шлях та критичний час на СГ?

5. У чому полягає задача відшукання критичного часу та критичного шляху на сітковому графіку?

6. Що таке транспортні сітки (ТС)?

7. Які правила побудови ТС Вам відомі?

8. Що таке умови обмеженості та балансу на транспортній сітці?

9. Який потік на ТС називається максимальним?

10.У чому полягає задача про максимальний потік на транспортній сітці?

7. Лабораторная работа №9

Дослідження характеристик аналогових та дискретних

фільтрів

9.1. Мета роботи

Вивчення частотных характеристик аналогових та дискретних фільтрів; аналитичне дослідження аналогових та дискретних фільтрів в пакетах Control System Toolbox; «експериментальне» дослідження аналогових та дискретних фільтрів в пакеті Simulink.

9.2. Порядок виконання роботи

1. Вивчити теоретичну частину.

2. По заданим (табл. 9.1) параметрам проектованого ФНЧ ( – гранична частота пропускания, – гранична частота затримування, – значення максимально припустимого подавлення сигналу в смузі пропускання, – значення максимально допустимого подавлення сигналу в смузі затримання) визначити його передавальну функцію.

3. Для заданого інтервалу дискретності (табл. 9.1) визначити граничну частоту.

4. Визначити параметри фильтра Баттерворта при збільшенних у 10 і 100 разів частотах зрізу.

5. Оформите звіт по лабораторній роботі, що повинний містити:

• титульний лист;

• вихідні дані варіанта;

• рішення задачі;

• результати рішення задачі.

9.3. Методичні рекомендації

Постановка задачі.

Фильтр - це пристрій або програма, яка забезпечує частотно залежні перетворення вхідного сигналу, тобто в деякому діапазоні фільтр повинен пропускати сигнали, а в деякому – іх затримувати.

Аналоговий фільтр може бути представлений неперервною передаточною функцією:

де, , - зображення по Лапласу вихідного та вхідного сигналів фільтра, відповідно; , - поліноми чисельника та знаменника передавальної функції.

В якості основних характеристик фільтра зазвичай беруть характеристику загасання , яка є величиною, що зворотня модуля частотної передавальної функції, та вимірюється в децибелах: , фазову характеристику : та характеристику групової затримки : .

Функцію називають функцією затухання.

І деальний фільтр низьких частот (ФНЧ) пропускає тільки низькочастотні складові. Його характеристика загасання має вигляд, наведений на рис. 9.1.

Рис. 9.1. Частотні характеристики загасання ідеального ФНЧ

Диапазон частот від 0 до називається смугою пропускання, той що залишився частотний диапазон – смугою затримання. Кордон між цими смугами називаеться частотою смуги. В реальних фільтрах перехід від частоти пропускання до частоти затримування відбувається плавно (рис.9.2).

Рис. 9.2. Частотні характеристики загасання реального ФНЧ

На рис.9.2 зображені контрольні точки ФНЧ, які використовуються при його проектуванні:

– гранична частота пропускання;

– гранична частота затримки;

– максимально припустиме подавлення сигналу в смузі пропускання, дБ;

– минимально допустиме подавлення сигналу в смузі затримування, дБ.

Опис необхідних програмних засобів MATLABу:

Команда MatLab buttord служить для визначання порядку n та частоти зрізу аналогового фільтра Баттерворта за вихідними даним цієї команди, яка задана частотою пропускання та затримування і максимальним допустимим подавленням сигналу в смузі пропускання та затримування . Причому, якщо команда buttord має параметр s

, то повинні бити задані в радіанах за секунду, значення частоти також буде отримано в радіанах за секунду, а буде визначати ступінь характеристичного управління.

Якщо команда buttord записана без параметра s, тобто: , то частоти і задаються у відносних одиницях , які змінюються від 0 до 1 (де 1 відповідає частоті ), визначається виразом , де - період дискретності.

Якщо визначається дискретний фільтр, який відповідає цьому аналоговому фільтру, то визначає частоту, при якій спостерігаються максимальне розходження між амплітудними значеннями аналогового та дискретного фільтрами і по цій розбіжності можна оцінити правильність вибору . У той же час доцільно пам'ятати, що - це частота, вище якої частотними характеристиками аналогового сигналу можна знехтувати. У пакеті MatLab Control System Toolbox аналогові і цифрові фільтри можуть бути представлені:

- у вигляді рівнянь простору станів - форма ss; - через передавальні функції - форма tf; - через нулі і полюси - форма zpk.

Перехід від безперервного подання рівнянь до їх дискретного поданням визначається командою c2d, а перехід до безперервного поданням, якщо заданий його дискретний аналог, визначається командою d2c. Наведені вище теоретичні положення розглянуті на конкретних прикладах у

Програмі 9.1.

Wr=1; %Гранична частота пропускання.

Ws=10; %Гранична частота затримки.

Rp=6; %Максимально припустиме подавлення в смузі пропускання (дБ).

Rs=20; %Минимально припустиме подавленння в смузі затримування (дБ)

[n,Wn]=buttord(Wr,Ws,Rp,Rs,'s') %Визначення параметрів

%аналогового фільтру Баттерворта.

[z,p,k]=buttap(n); %Визначення нулей и полюсов фильтра Баттерворта.

[b,a]=zp2tf(z,p,k) %Визначення коефіцієнтів фільтру Баттерворта.

h=tf([b],[a]) %Визначення передаточной функції

%аналогового фільтру Баттерворта.

%Проектування фильтру Баттерворта з більш жорсткими вимогами: в смузі пропускання зменьшено максимально припустиме подавлення

Wr=1;

Ws=10;

Rp=2;

Rs=20;

[n2,Wn2]=buttord(Wr,Ws,Rp,Rs,'s')

[z,p,k]=buttap(n2);

[b2,a2]=zp2tf(z,p,k)

h2=tf([b2],[a2]) % Визначення передаточноі функції.

%Проектування фильтру Баттерворта з більш жорсткими вимогами: в смузі пропускання збульшено максимально припустиме подавлення

Wr=1;

Ws=10;

Rp=2;

Rs=52;

[n3,Wn2]=buttord(Wr,Ws,Rp,Rs,'s')

[z,p,k]=buttap(n3);

[b3,a3]=zp2tf(z,p,k)

h3=tf([b3],[a3]) % Визначення передаточної функції

figure(1) %Побудова ЛЧХ для трьох фільтрів Баттерворта.

bode(h,h2,h3),grid on

%Проектування дискретних фільтрів Баттерворта при t=0,2.

t=0.2; %Інтервал дискретності.

hd=c2d(h,t) %Передаточна функція дискретного Фільтру,

%яка відповідає аналоговому фільтру h.

h2d=c2d(h2,t)% Передаточна функція дискретного Фільтру,

%яка відповідає аналоговому фільтру h2.

h3d=c2d(h3,t)% Передаточна функція дискретного Фільтру,

%яка відповідає аналоговому фільтру h3.

figure(2) %ЛАЧ та ЛФЧ характеристики фільтрів h и hd.

bode(h,hd),grid on

figure(3) %ЛАЧ та ЛФЧ характеристики фільтрів h2 и h2d.

bode(h2,h2d),grid on

figure(4) %ЛАЧ та ЛФЧ характеристики фільтрів h3 и h3d.

bode(h3,h3d),grid on

%Проектування дискретних фільтрів Баттерворта при t=0,05.

t=0.05; %Інтервал дискретності.

hd=c2d(h,t) %Визначення параметрів дискретних фільтрів

h2d=c2d(h2,t) %для спроектованих неперервних фільтрів

h3d=c2d(h3,t) %при нових інтервалах дискретності.

figure(5) %Побудова ЛАЧ та ЛФЧ характеристик

bode(h,hd),grid on %аналогових і дискретних (при змененом

figure(6) %інтервалі дискретності)фільтрів.

bode(h2,h2d),grid on

figure(7)

bode(h3,h3d),grid on

У цій програмі послідовно досліджується три фільтри Баттерворта, що мають однакові частоти пропускання і затримування , але різні величини припустимого подавлення сигналу в смузі пропускання та смузі затримування . Параметри , , , визначають частоту зрізу і порядок фільтрів Баттерворта . Причому, чим ближче частотні характеристики реального фільтра наближаються до частотним характеристикам ідеального фільтра, тим більше величина . Таким чином, порядок фільтра буде збільшуватися при збільшенні довжини горизонтальної ділянки в смузі пропускання (зменшенням ), при збільшенні вимоги до придушення сигналу в смузі затримування (збільшення ) або при зменшенні частотного діапазону між и . Зв'язок між параметрами , , и (вимоги до фильтру) і порядком фільтра ілюструється на рис. 9.1.

Рис.1

Рис.9.1. ЛАЧХ фільтрів Баттерворта (1 – фільтр першого порядку (-20 дБ/дек); 2 – другого порядку (-40 дБ/дек); 3 – трет’єго порядку (-60 дБ/дек))

В першому варіанті допустимого зменшення амплітуди у кінці смуги пропускання у два рази, що визначає величину

У другому варіанті ФНЧ в смузі пропускання має більш плоску характеристику та допустиме зменьшення амплитуди на частоті зрізу, яка складає 20%, тобто

В третьому варіанті проектуємого фільтру збільшені вимоги до подавлення сигналу в смузі затримки (сигнал зменьшується у 400 разів), тобто .

Зі збільшенням фільтруючих свойств збільшується також і порядок фільтру, що ілюструється на рис. 9.1.

В другої частині програми 9.1 командой визначаються –передаточі функції фільтрів для фільтрів першого, другого та третього порядків при різних інтервалах дискретності. Для маємо три передаточні функції

, (9.1)

, (9.2)

, (9.3)

Z–передаточні функції для мають вигляд:

, (9.4)

(9.5)

(9.6)

У програмі 9.1 є команда bode для побудови логаріфмічних характеристик неперервних і дискретних систем (рис.9.2). Результати виконання цієї команди представлені на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Логарифмічні характеристики неперервного і дискретного ФНЧ першого порядку для (1 – неперервний фільтр; 2 – дискретний фільтр)

Через періодичності частотні характеристики дискретного фільтра розраховуються від нуля до частоти

З рис. 9.2 випливає, що між амплітудними та фазовими характеристиками безперервного і дискретного фільтрів на частоті спостерігаються значні відмінності: для амплітудних характеристик відмінності досягають 6 дБ, для фазових - 90^о. До отриманих результатів слід ставитися з обережністю ще й тому, що різниця між ЛАЧХ безперервного і дискретного фільтра проявляється при недостатньому ослабленні вихідного сигналу, що становить (-20) дБ. Рекомендовані ослаблення вихідного сигналу, при якому перехід до дискретного поданні практично не вносить помилки, складає - (30-60) дБ. Зменшення дозволяє наблизити характеристики дискретного фільтра до аналогового в області високих частот.