6.2. Стратегическое планирование машинных экспериментов с моделями систем

Существуют две составляющие планирования: стратегическое и тактическое планирование.

Стратегическое планирование ставит своей целью решение задачи получения необходимой информации о системе S с помощью модели М_м, реализованной на ЭВМ, с учетом ограничений на ресурсы, имеющиеся в распоряжении экспериментатора.

Тактическое планирование представляет собой определение способа проведения каждой серии испытаний машинной модели М_м, предусмотренных планом эксперимента.

Проблемы стратегического планирования. Проблемы стратегического планирования машинных экспериментов, связанные с особенностями функционирования моделируемого объекта (системы S) и с особенностями машинной реализации модели М_м и обработки результатов эксперимента, следующие:

1. построение плана машинного эксперимента;

2. наличие большого количества факторов;

3. многокомпонентная функция реакции;

4. стохастическая сходимость результатов машинного эксперимента;

5. ограниченность машинных ресурсов на проведение эксперимента.

Рассмотрим существо этих проблем и методы их решения.

При построении плана эксперимента необходимо помнить о цели проведения машинных экспериментов с моделью М_м системы S:

• получение зависимости реакции от факторов для выявления особенностей изучаемого процесса функционирования системы S (т.е. решить задачу анализа),

• нахождение такой комбинации значений факторов, которая обеспечивает экстремальное значение реакции (т.е. решить задачу синтеза системы S).

При реализации полного факторного плана различия между машинными экспериментами для достижения той или иной цели стираются, так как оптимальный синтез сводится к выбору одного из вариантов, полученного при полном факторном анализе. Но полный факторный эксперимент эквивалентен в этом случае полному перебору вариантов, что нерационально с точки зрения затрат машинных ресурсов. Для более эффективного (с точки зрения затрат машинного времени и памяти на моделирование) нахождения оптимальной комбинации уровней факторов можно воспользоваться выборочным методом определения оптимума поверхности реакции (систематическая или случайная выборка) на основе априорной информации о моделируемой системе S.

Другая специфическая проблема стратегического планирования машинных экспериментов - наличие большого количества факторов. Это одна из основных проблем реализации имитационных моделей на ЭВМ, так как известно, что в факторном анализе количество комбинаций факторов равно произведению числа значений всех факторов эксперимента. Когда при моделировании требуется полный факторный анализ, то проблема большого количества факторов может не иметь решения. Достоинством полных факторных планов является то, что они дают возможность отобразить всю поверхность реакции системы, если количество факторов невелико. Строят неполные факторные планы, требующие меньшего числа точек, но приводящие к потере допустимого количества информации о характере функции реакции. В этом случае строят план эксперимента, исходя из поверхности реакции, это позволяет уменьшить объем эксперимента без соответствующих потерь количества получаемой информации. Методы поверхности реакции позволяют сделать некоторые выводы из самых первых экспериментов с машинной моделью М_м. Если дальнейшее проведение машинного эксперимента оказывается неэкономичным, то его можно закончить в любой момент.

Следующей проблемой стратегического планирования машинных экспериментов является многокомпонентная функция реакции. В этом случаев рассматривают имитационный эксперимент по определению многих реакций как несколько имитационных экспериментов, в каждом из которых исследуется (наблюдается) только одна реакция. Если переменные реакции связаны друг с другом, то рационально использовать интегральные оценки нескольких реакций, построенные с использованием весовых функций, функций полезности и т.д.

Проблема стохастической сходимости результатов машинного эксперимента возникает вследствие того, что целью проведения конкретного машинного эксперимента при исследовании и проектировании системы S является получение на ЭВМ количественных характеристик процесса функционирования системы S с помощью машинной модели М_м. В качестве таких характеристик наиболее часто выступают средние некоторых распределений, для оценки которых применяют выборочные средние, найденные путем многократных прогонов модели на ЭВМ, причем чем больше выборка, тем больше вероятность того, что выборочные средние приближаются к средним распределений. Сходимость выборочных средних с ростом объема выборки называется стохастической сходимостью. Основной трудностью при определении интересующих характеристик процесса функционирования системы S является медленная стохастическая сходимость. Известно, что мерой флуктуаций случайной величины служит ее нестандартное отклонение. Если  – стандартное отклонение одного наблюдения, то стандартное отклонение среднего N наблюдений будет равно / . Таким образом, для уменьшения случайной ошибки в k раз требуется увеличить объем выборки в k² раз, т.е. для получения заданной точности оценки может оказаться, что объем необходимой выборки нельзя получить на ЭВМ из-за ограничения ресурса времени и памяти. Основная идея ускорения сходимости в машинных экспериментах – использование априорной информации о структуре и поведении системы S, свойствах распределения входных переменных и наблюдаемых случайных воздействий внешней среды Е.

Но при планировании машинных экспериментов на практическую реализуемость плана существенное влияние оказывают имеющиеся в распоряжении экспериментатора ресурсы. Поэтому планирование машинного эксперимента представляет собой итерационный процесс, когда выбранная модель плана эксперимента проверяется на реализуемость с точки зрения ограниченности машинных ресурсов, а затем, если это необходимо, вносятся соответствующие коррективы в исходную модель.

Этапы стратегического планирования. Можно выделить следующие этапы стратегического планирования машинных экспериментов:

1. построение структурной модели;

2. построение функциональной модели.

При этом структурная модель выбирается исходя из того, что должно быть сделано, а функциональная – из того, что может быть сделано.

Структурная модель плана эксперимента характеризуется числом факторов и числом уровней для каждого фактора. Число элементов эксперимента

N_c=q₁q₂…q_k,

где k – число факторов эксперимента; q_i – число уровней i-го фактора, .

При этом под элементом понимается структурный блок эксперимента, определяемый как простейший эксперимент в случае одного фактора и одного уровня, т.е. k=1, q=1, N_c=1.

При этом надо найти наиболее существенные факторы, так как из опыта известно, что для большинства систем 20 % факторов определит 80 % свойств системы S, а остальные 80 % факторов определяют лишь 20 % ее свойств.

Следующий шаг в конструировании структурной модели плана состоит в определении уровней, на которых следует устанавливать и измерять каждый фактор, причем минимальное число уровней фактора, не являющегося постоянным, равно двум. Число уровней следует выбирать минимальным, но достаточным для достижения цели машинного эксперимента.

Если принять число уровней всех факторов одинаковым, тогда структурная модель будет симметричной и примет вид N_c=q^k , где q=q_i, .

Функциональная модель плана эксперимента определяет количество элементов структурной модели N_ф, т.е. необходимое число различных информационных точек. При этом функциональная модель может быть полной и неполной. Функциональная модель называется полной, если в оценке реакции участвуют все элементы, т.е. N_ф=N_c, и неполной, если число реакций меньше числа элементов, т.е. N_ф<N_c. Основная цель построения функциональной модели – нахождение компромисса между необходимыми действиями при машинном эксперименте (исходя из структурной модели) и ограниченными ресурсами на решение задачи методом моделирования.

Для более быстрого нахождения компромиссного решения можно при предварительном планировании машинного эксперимента использовать номограмму, построенную при варьировании числа факторов k, числа уровней факторов q, повторений эксперимента р, а также затрат времени на прогон модели  и стоимости машинного времени c. Вид такой номограммы показан на рис. 6.6, причем при ее построении предполагалось, что полное число прогонов, необходимых при симметрично повторяемом эксперименте,

N=рq^k. (6.96

Рис. 6.6. Номограмма предварительного планирования машинного эксперимента

Рассмотрим особенности использования такой номограммы на примере.

Пример 6.3. Пусть необходимо спланировать машинный эксперимент при наличии трех факторов k = 3, каждый из которых имеет три уровня q = 3, причем требуется р = 15 повторений с затратами  = 120 с машинного времени на один прогон при стоимости 1 ч машинного времени с = 100 руб. Кроме того, предполагается, что в день на моделирование данной системы S выделяется 60 мин машинного времени, т.е. на моделирование требуется k = N/3600 дней. Такой машинный эксперимент потребует около 400 прогонов, затратив примерно _ = 13 ч машинного времени, около T_k = 13 дней на получение результатов моделирования и 1304 руб. для оплаты машинного времени.

Сравним случай, рассмотренный в примере, при условии, что число уровней факторов уменьшено до двух, т.е. q = 2. Такой машинный эксперимент потребует только 135 прогонов; 4,5 ч машинного времени; 4,5 дня на получение результатов и всего 450 руб. затрат для оплаты машинного времени, т.е. имеет место сокращение затрат на 265 %.

Такая номограмма (рис. 6.6) может быть использована и для других входов, например, при фиксированной величине денежных средств, отводимых на машинный эксперимент.

Для более детального анализа имеющихся у экспериментатора возможностей при планировании эксперимента рассмотрим попарно относительное влияние числа факторов k, числа уровней q и числа повторений р на количество необходимых машинных прогонов модели N. Предполагая эти величины непрерывными, проанализируем, какая из трех величин дает наибольшее сокращение полного количества прогонов. Для этого продифференцируем уравнение (6.96):

, , . (6.97)

Из этих уравнений видно, что:

1. если kp>q и k>qlnq, то доминирует (оказывает наибольшее влияние на число машинных прогонов N) изменение числа уровней q;

2. если kp<q и k>qlnq, то доминирует число факторов k;

3. если p<q и plnq<1, то доминирует число повторений р.

Такой анализ позволяет дать наглядную графическую интерпретацию определения доминирующей для данного машинного эксперимента с моделью системы S переменными: k, q или р. Графически отразим уравнения (6.97). На рис. 6.7, а приведен график отношения (qlnq)/k как функции числа уровней q при изменении числа факторов k от 1 до 5. Если отношение (qlnq)/k>1 при данных k и q, то доминирует число факторов k. Если это отношение меньше 1, то доминирует число уровней q.

На рис. 6.7, б приведен график зависимости отношения q/(kp) от числа уровней q для величин произведений kp в пределах от 1 до 5. Если в данном случае q/(kp)>1, то доминирует число повторений р, а если q/(kp)<1, то доминирует число уровней q.

На рис. 6.7, в показан график зависимости отношений 1/(plnq) от числа уровней q для числа повторений р, изменяющихся в пределах от 1 до 10. Если 1/(plnq)>1, то доминирует число повторений р, а если 1/(plnq)<1, то доминирует число факторов k.

а б в

(qlnq)/k q/(kp) 1/(рlnq)

2 2 2

k=1 2 3 4 5 kp=1 2

3

4

1 1 5 1

р=1

2

10

0 0 0

1 2 3 4 q 1 2 3 4 q 1 2 3 4 q

Рис. 6.7. Графическое изображение зависимостей:

а – qlnq/k; б – q/(kp); в – 1/(plnq) в функции

Пример 6.4. Пусть при составлении плана машинного эксперимента требуется оценить, какая переменная играет доминирующую роль в сокращении полного числа машинных прогонов модели N при k = 4, q = 3, p = 2. Воспользуемся рис. 6.7, а: для q = 3 и k = 4 отношение (qlnq)/k<1, т.е. число уровней q доминирует над числом факторов k. Исходя из рис. 6.7, б, для q = 3, kp = 8 имеем q/(kp)<l, т.е. число уровней q доминирует над числом повторений р. И наконец, воспользовавшись рис. 6.7, в, видим, что для q = 3 и p = 2 отношение 1/(рlnq)<1, т. е. число факторов доминирует над числом повторений р.

Таким образом, использование при стратегическом планировании машинных экспериментов с М_м структурных и функциональных моделей плана позволяет решить вопрос о практической реализуемости модели на ЭВМ исходя из допустимых затрат ресурсов на моделирование системы S.