В .5. Законы распределения для важнейших потоков.
Для простейшего потока событий интервал времени Т между двумя соседними событиями имеет показательное распределение с плотностью вероятности:
|
(1) |
В этом случае математическое ожидание равно среднеквадратичному отклонению:
|
(2) |
Для работы СМО такой входной поток является наиболее тяжелым по сравнению с любым другим видом входного потока с той же интенсивностью . У любого другого потока событий mT = Т.
Простейший поток увеличивает долю времени простаивания каналов обслуживания, а если СМО имеет ограниченную длину очереди, то увеличивает долю заявок, получающих отказ в обслуживании.
В теории вероятностей доказывается, что для простейшего потока интенсивностью вероятность попадания на произвольный участок времени t равно k событий задается формулой Пуассона:
|
(4) |
Для пуассоновского потока математическое ожидание числа событий, наступивших за промежуток времени t, совпадает со среднеквадратичным отклонением и равно:
|
(5) |
В.6. Уравнения Колмогорова в системах массового обслуживания. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояния
При анализе СМО принято считать, что все переходы СМО из состояния в состояние происходят под действием простейших потоков. В этом случае процесс в СМО будет марковским.
Вероятностью i–го состояния называется вероятность pi(t) того, что в данный момент t система будет находиться в состоянии Si(t). Очевидно, что для любого момента t сумма всех вероятностей состояний равна единице:
(3)
Система дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями А.Н. Колмогорова, для определения вероятностей составляется с помощью следующего общего правила.
Общее правило составления уравнений Колмогорова:
в левой части i-го уравнения стоит производная вероятности i-го состояния;
в правой части каждого i-го уравнения стоит сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых возможен непосредственный переход в i-ое состояние, на интенсивности соответствующих потоков, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих сумму из i-го состояния, умноженная на вероятность данного состояния.
В системе независимых уравнений на 1 меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить (3).
Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности состояний в предельном стационарном режиме, т.е. при , которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.
Предельная вероятность состояния Si показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии при установившемся (т.е. стационарном) режиме функционирования СМО.
Теорема. Если число состояний системы конечно, и из каждого из них можно за конечное число шагов перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.
|
(5) |
где I0 – множество всех состояний СМО.
Для определения дельных вероятностей состояний необходимо положить в уравнениях Колмогорова все левые части равными нулю и решить полученную систему линейных алгебраических уравнений относительно рi, дополнив ее уравнением:
|
|
Любое из уравнений Колмогорова можно отбросить, т.к. оно является линейной комбинацией остальных.
При составлении системы для определения предельных вероятностей состояний можно использовать следующее правило: Слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния pi, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i –ое состояние, на вероятности тех состояний из которых эти потоки исходят.
Система уравнений Колмогорова для примера о бензоколонке имеет вид:
|
Для рассмотренного случая уравнения для предельных вероятностей состояний: |
Для решения этой
системы необходимо знать ij
(
).