В.7. Схема гибели и размножения

Размеченный граф состояний для схемы гибели и размножения имеет следующий вид:

λ₀₁ λ₁₂ λ₂₃ λ_k-1k λ_{k k+1} λ_{n-1 n}

S₀ S₁ S₂ S_к S_n

λ₁₀ λ₂₁ λ₃₂ λ_{k k-1} λ_{k+1 k} λ_{n n-1}

S_k соответствует численности популяции, равной k, переход S_k  S_k+1 происходит при рождении одного члена популяции, а S_k  S_k-1 – при гибели одного члена популяции. Из состояния S_k переход возможен только в S_k+1 или в S_k-1.

Найдем для этой схемы ФВС. Используем правило. Считаем, что все потоки событий простейшие, и процесс в системе – простейший.

Для состояния S₀ имеем:

,

(1)

для состояния S₁ имеем с учетом (1):

,

откуда аналогично:

(2)

Решим эту систему. Выразим р₁ через р₀:

(3)

Далее:

и т.д. Все вероятности выражены через р₀.

Подставим в нормировочное условие:

откуда:

Т.о. Формулы для предельных вероятностей состояний:

,

, , …, .

З адача 1. Найти предельные вероятности состояний для следующего процесса гибели и размножения: 1 2

S₀ S₁ S₂

4. 3

Задача 2. То же для следующего процесса:

2 3

S₀ S₁ S₂

4. 4

В.8. Основные модели систем массового обслуживания

8.1. Смо с отказами

В качестве показателей эффективности будем рассматривать:

А – абсолютная пропускная способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени.

Q – относительная пропускная способность, т.е.средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой.

Р_отк – вероятность отказа, т.е. средняя доля необслуженных заявок, покинувших систему.

- среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

8.1.1. Одноканальная система с отказами

Имеется 1 канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью λ.

Выходящий поток заявок связан со временем обслуживания , которое также является случайной величиной. Он характеризуется интенсивностью потока обслуживания , т.е. средним числом заявок, обслуживаемых в единицу времени:

Система S (СМО) имеет 2 состояния: S₀ – канал свободен и S₁ – канал занят.

λ

S₀ S₁

μ

В предельном стационарном режиме система для вероятностей состояний имеет вид:

=>

- среднее относительное время пребывания системы в состоянии S₀

- среднее относительное время пребывания системы в состоянии S₁

Относительная пропускная способность: Q = p₀.

Вероятность отказа: P_отк = р₁.

Абсолютная пропускная способность: А = λ∙Q.

Задача 3. Известно, что заявки на телефонные переговоры поступают с интенсивностью λ = 90 заявок/час, а средняя продолжительность разговора по телефону t_об. = 2 мин. Определить показатели эффективности СМО при наличии одного телефонного номера.

Задача 4. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с одной группой проведения осмотра. На осмотр затрачивается в среднем 0,5 часа и поступает в среднем 36 машин/сутки. Потоки заявок и обслуживаний - простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра не застает канал свободным, она покидает пункт.

Определить вероятности состояний и характеристики обслуживания пункта.