Если внутренним сопротивлением фаз генератора пренебречь, то в комплексной форме записи выражения для фазных напряжений примут вид:

(3.22)

Соответствующие им линейные напряжения при соединении звездой:

(3.23)

Здесь U_ф – модуль фазного напряжения источника питания, а U_л – модуль линейного напряжения. В симметричной трёхфазной цепи, при соединении фаз источника звездой, между этими напряжениями есть взаимосвязь:

. (3.24)

К трехфазному источнику может подключаться нагрузка. По значению величин и характеру трёхфазная нагрузка бывает симметричной и несимметричной. В случае симметричной нагрузки комплексные сопротивления всех трёх фаз одинаковы, а если эти сопротивления различны, то нагрузка несимметричная. Фазы нагрузки могут соединяться между собой звездой (рисунок 3.23, а) или треугольником (рисунок 3.23, б).

При соединении фаз звездой фазные токи равны линейным токам: I_ф = I_л. При соединении фаз треугольником фазное напряжение равно соответствующему линейному напряжению U_ф = U_л.

б)

Рисунок 3.23 – Схемы соединения фаз нагрузки

а – звездой; б – треугольником

В этом отношении соединение нагрузки треугольником имеет преимущество: сопротивления фаз, т. е. сторон треугольника, могут быть неодинаковы и даже в крайнем случае могут включаться и отключаться независимо друг от друга. Такая же возможность имеется при соединении генератора и нагрузки звездой, если их нейтральные точки соединены нейтральным проводом или через землю. На самолетах и кораблях нейтральным проводом может служить металлическая обшивка (корпус), к которой присоединяются нейтральные точки генераторов и нагрузок.

Расчёт трёхфазных цепей.

При анализе трёхфазных цепей алгоритм расчета зависит от схемы соединения нагрузки, исходных параметров и цели расчёта.

Д ля соединения фаз генератора и приемника звездой с нейтральным проводом (условное обозначение ) схема приведена на рисунке 3.24. Сопротивлениями обмоток генератора и соединительных проводов ввиду их малости по сравнению с сопротивлениями нагрузки можно для начала пренебречь. Так как в схеме есть нейтральный провод, то напряжение на фазах нагрузки равно соответствующему фазному напряжению источника питания:

Токи в линейных проводах (фазные токи нагрузки) определяем с помощью закона Ома:

, , . (3.25)

Ток в нейтральном проводе находим по первому закону Кирхгофа

(3.26)

Рисунок 3.24 – Схема соединения фаз источника и приемника

звездой с нейтральным проводом

Для симметричного приемника действующие значения токов всех фаз и сдвиги фаз относительно соответствующих фазных ЭДС одинаковы, а ток в нейтральном проводе равен нулю. Поэтому в случае симметричного приемника, или, как говорят, при симметричной нагрузке генератора, нейтральный провод не нужен и не прокладывается. Примером такого приемника является трехфазный асинхронный двигатель с соединением фазных обмоток звездой.

Для определения фазных напряжений при несимметричной нагрузке, соединённой звездой без нейтрального провода (рисунок 3.25, условное обозначение U), используют метод двух узлов. В соответствии с этим методом расчёт начинают с определения напряжения U_N между нейтральными точками источника питания и нагрузки, называемого напряжением смещения нейтрали:

, (3.27)

где y_a , y_b , y_c – полные проводимости соответствующих фаз нагрузки в комплексной форме,

.

Рисунок 3.25 – Схема соединения фаз источника и приемника

звездой без нейтрального провода

Напряжения на фазах несимметричной нагрузки находят из выражений:

, , . (3.28)

Фазные токи в нагрузке, они же и токи линейных проводов при любом характере нагрузки:

, , . (3.29)

Соединение нагрузки звездой без нейтрального провода применяется только при одинаковой нагрузке всех трех фаз, так как при неравномерной нагрузке напряжения на фазах получаются неодинаковыми. Между тем условие равномерной загрузки фаз на практике не всегда выполняется. Для осветительной нагрузки нейтральный провод необходим, поскольку нет оснований рассчитывать на полную симметрию такого трехфазного приемника. Также в нейтральном проводе трехфазной четырехпроводной осветительной магистрали запрещена установка предохранителей или выключателей, так как при отключении нейтрального провода фазные напряжения могут стать неравными. Вследствие данного явления в одних фазах может наблюдаться недонакал, а в других быстрое перегорание ламп.

При подключении потребителей треугольником (условное обозначение Δ) схема приобретает вид, изображённый на рисунке 3.23, б. В этом режиме схема соединения фаз симметричного источника питания не играет роли. Фазные токи в нагрузке (I_ab, I_bc, I_ca) определяют с помощью закона Ома для участка цепи _{, где Uл –соответствующее линейное напряжение источника питания;} z_ф – полное сопротивление соответствующей фазы нагрузки. Токи в линейных проводах определяют через фазные на основании первого закона Кирхгофа для каждого узла (точки a,b,c) схемы, изображённой на рисунке 3.23, б:

, , . (3.30)

При любом характере нагрузки трёхфазная активная и реактивная мощности равны соответственно сумме активных и реактивных мощностей отдельных фаз. Для определения этих мощностей фаз можно воспользоваться выражением

, (3.31)

где , – комплекс напряжения и сопряжённый комплекс тока на фазе нагрузки;

P_ф, Q_ф – активная и реактивная мощности в фазе нагрузки.

Трёхфазная активная мощность

. (3.32)

Трёхфазная реактивная мощность

. (3.33)

Трёхфазная полная мощность

. (3.34)

Пример 3.2. Расчет трехфазной цепи при соединении потребителей звездой.

Рассмотрим трехфазную цепь с линейным напряжением U_Л и нагрузкой, соединенной звездой с нейтральным проводом. Схема такой цепи приведена на рисунке 3.26. Параметры цепи: U_Л = 380 В, r₁ = 10 Ом, x_L2 = 20 Ом, x_С3 = 20 Ом.

Рисунок 3.26 ─ Схема трёхфазной цепи при соединении потребителей звездой

Решение. Так как в схеме есть нейтральный провод, то напряжение на фазах нагрузки равно соответствующему фазному напряжению источника питания: _{, , ,}

в числовом виде: , В, В.

В общем случае полное сопротивление фазы в комплексной форме определяют с помощью выражения, которое использовалось в однофазных цепях

.

Применяем эту формулу для нашего конкретного случая, получим полные сопротивления фаз в следующем виде:

Ом, Ом, Ом.

Комплексные сопротивления фаз различны, следовательно, нагрузка несимметричная.

Токи в линейных проводах (фазные токи нагрузки) определяем с помощью закона Ома:

_А,

_А,

_А.

Ток в нейтральном проводе находим по первому закону Кирхгофа

Полные мощности фаз:

ВА,

ВА,

ВА.

Так как вещественная часть полной мощности есть активная мощность цепи, а мнимая часть – реактивная, то, просуммировав отдельно вещественные, а затем мнимые части мощностей трех фаз, определяем трехфазную активную и реактивную мощности.