3.5. Метод Петрика
Метод використовується для знаходження усіх мінімальних покриттів конституент одиниці і дає можливість одержати усі тупикові ДНФ за допомогою імплікантної матриці. Суть методу полягає у наступному. За допомогою імплікантної матриці будується так зване кон’юнктивне представлення імплікантної матриці. Для цього усі прості імпліканти позначаються різними буквами (зазвичай прописними латинськими). Після цього, для кожного i-го стовпця імплікантної матриці записуються диз’юнкції усіх букв, якими позначаються рядки імплікантної матриці, перетин яких з i-м стовпцем відмічено міткою (наприклад, символом ”+”). Кон’юнктивне представлення імплікантної матриці утворюється як кон’юнкція усіх диз’юнкцій для всіх стовпців матриці. До одержаного кон’юнктивного представлення, з метою його спрощення, можуть бути застосовані усі аксіоми та закони булевої алгебри. Після розкриття дужок і виконання усіх поглинань одержується диз’юнкція кон’юнкцій, кожна із яких містить усі імпліканти тупикової ДНФ.
Приклад 3.8. Задана імплікантну матриця (табл. 22). Знайти методом Петрика усі тупикові ДНФ булевої функції f, яка відповідає даній матриці.
Розв’язання. Позначивши буквами наявні прості імпліканти:
0*00=А, 010*=B, **11=C, *1*1=D, 1**1=E,
дістанемо імплікантну матрицю вигляду
Таблиця 23
|
Двійкові набори конституент одиниці |
||||||||
Прості імпліканти |
0000 |
0011 |
0100 |
0101 |
0111 |
1001 |
1011 |
1101 |
1111 |
A |
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
+ |
+ |
|
|
|
|
|
C |
|
+ |
|
|
+ |
|
+ |
|
+ |
D |
|
|
|
+ |
+ |
|
|
+ |
+ |
E |
|
|
|
|
|
+ |
+ |
+ |
+ |
Кон’юнктивне представлення g матриці має вигляд
g=AC(A+B)(B+D)(C+D)E(C+E)(D+E)(C+D+E).
Виконаємо спрощення шляхом розкриття дужок і операції поглинання. g1=AC(A+B)=ACA+ACB=AC+ACB=AC(1+B)=AC;
g2=(B+D)(C+D)=BC+BD+CD+DD= BC+BD+CD+D=BC+D(B+C+1)=BC+D; g3=E(C+E)(D+E)=E(CD+CE+ED+EE)=E(CD+E(C+D+1))=ECD+E=E;
g4=g3(C+D+E)=E(C+D+E)=EC+ED+EE=E(C+D+1)=E;
g=AC(BC+D)EE=ACBCE+ACDE=ABCE+ACDE.
Таким чином, після спрощення дістанемо функцію g=ABCE+ACDE.
З одержаної функції одержуємо дві тупикові форми:
,
.
З
одержаних тупикових форм вибираємо
мінімальну форму. Такою формою є функція
.
Отже, мінімальна ДНФ є функція
.