1.1.3 Статистический способ определения вероятностей

Сущность способа заключается в том, что проводится серия опытов, в которых фиксируется число опытов m с появлением события A и общее число опытов n и определяется их отношение m/n, называемое частотой (относительной частотой). Эта относительная частота принимается за неизвестную вероятность. Она обозначается как p*(A)=m/n.

Многочисленные наблюдения показывают, что при проведении серий из большого числа опытов частота события обладает определенной устойчивостью. Такая устойчивость частоты события является проявлением ее общей закономерности. Свойство устойчивости частоты события играет очень важную роль в познании действительного мира и позволяет изучать случайные явления.

Статистической вероятностью события называют число, около которого имеет тенденцию группироваться частота события при многократном повторении опыта в данных условиях.

Частота события есть величина случайная. При увеличении числа опытов ее случайный характер утрачивается и вследствие близости ее к вероятности события частота принимается в качестве приближенной оценки вероятности события. Способ не требует, чтобы опыт сводился к схеме случаев.

Пример 3: Стрелок из 5 серий по 50 выстрелов в каждой имел попаданий в «десятку» соответственно 48, 47, 47, 48, 49 раз.

Какова частота попаданий в «десятку»?

Решение.

Чтобы найти статистическую вероятность, достаточно найти среднюю арифметическую частоту, т.е.

Знание вероятности наступления события позволяет предсказать с определенной точностью его частоту при проведении большого числа испытаний, что очень важно при изучении тех или иных проблем.

1.1.4 Геометрический способ определения вероятностей

Данный способ применяют тогда, когда опыт относится к схеме случаев, но число благоприятных случаев и число равновозможных и несовместных случаев подсчитать невозможно, но можно поставить этим числам в однозначное соответствие определенные длины, площади, объемы и другие физические величины.

Пример 4: Имеется некоторый монтажный провод длиной L. Разрыв может произойти в любой точке с одинаковой вероятностью. Определить вероятность того, что разрыв произойдет на участке длиной l, если считать, что разрыв одновременно в нескольких точках невозможен.

Решение.

Поставив в соответствие числам m и n длины l и L, вероятность разрыва провода на участке l можно определить по формуле

Рассмотренный пример иллюстрирует геометрическое определение вероятности: вероятность случайного события есть отношение длины участка благоприятного появлению события к длине всего провода. Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на случай, когда число равновозможных исходов бесконечно.

1.2 Теоремы сложения и умножения вероятностей

1.2.1 Алгебра событий

Для успешного решения некоторых типовых задач необходимо познакомиться с очень важными понятиями: суммы и произведения событий.

Суммой событий A и B называют событие C=A+B, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример 1: Событие A – поражение цели при первом выстреле, событие B - поражение цели при втором выстреле.

Тогда суммой событий A+B будет поражение цели вообще (либо при первом выстреле, либо при втором, либо при первом и втором выстрелах).

Если события A и B совместны (пример 1), то сумма событий C=A+B сводится к появлению или события A, или события B, или и A, и B.

Если события A и B несовместны, то появление их вместе отпадает, а поэтому их сумма сводится к появлению или события A, или события B.

Например, при бросании монеты события: появление герба, появление цифры несовместны, поэтому сумма их сводится к появлению только одного из них.

Произведением A и B называют событие C=AB, которое состоит в совместном появлении событий A и B.

Пример 2: Если событие A – попадание в «десятку» при первом выстреле, событие B – попадание в «десятку» при втором выстреле и событие C – попадание в «десятку» при третьем выстреле, то произведение D=ABC – попадание в «десятку» при всех выстрелах.

При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций элементарных событий, применяя и операцию сложения, и операцию умножения.

В условиях примера 2, события - непопадание в «десятку» при первом, втором и третьем выстрелах соответственно.

Составим сложное событие G, состоящее в том, что в результате трех выстрелов «десятка» будет поражена ровно один раз. Это событие может быть представлено в виде