Решение

Наиболее вероятным является распределение, при котором молекулы равномерно распределены по объему, то есть в каждой половине сосуда содержится N/2 молекул.

По определению, термодинамическая вероятность

(1)

где N – полное число молекул;

n_i – число молекул в i-том состоянии.

По условию задачи n₁=N/2, n₂=N/2. Соотношение (1) примет вид:

Для N=10

Для N=6

Для N=2

Как и следовало ожидать, с ростом числа молекул термодинамическая вероятность равномерного распределения увеличивается.

26. В сосуде содержится 5 молекул. Чему равна термодинамическая вероятность следующих распределений Ω(0,5); Ω(1,4); Ω(2,3); молекул по двум половинам сосуда?

Решение

Запишем определение термодинамической вероятности

(1)

где N – полное число молекул;

n_i – число молекул в i-том состоянии.

В соответствии с условием задачи

где n₁ – число частиц в первой половине сосуда;

n₂ – число частиц во второй половине.

Термодинамическая вероятность более равномерного распределения – больше.

26. Некоторая термодинамическая система перешла из состояния 1 в состояние 2. Термодинамическая вероятность второго состояния в 2 раза больше первого. Чему равно приращение энтропии системы?

	Энтропия S и термодинамическая вероятность Ω связаны формулой (1) где k – постоянная Больцмана.
∆S‒?

Запишем (1) для первого и второго состояний:

(2)

(3)

Вычтем из (3) (2)

Численное значение:

26. Моль азота охлажден до температуры −100°С. Определить давление p, оказываемое газом на стенки сосуда, если объем V, занимаемый газом, равен а)1,00л; б)0,100л. Сравнить с давлением p_ид, которое оказывал бы азот, если бы сохранил при рассматриваемых условиях свойства идеального газа.

ν=1 1)V=1,00л 2)V=0,100л	Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля реального газа имеет вид: (1) где V – объем одного моля. Давление р из (1) равно: (2)
p1/pид−? p2/pид−?

Давление моля идеального газа определим из уравнения Менделеева-Клапейрона для одного моля pV=RT,

₍₃₎

Вычисления по формулам (2) и (3) дают:

1) V=1,00л; р₁=1,36∙10⁶ Па; р_ид=1,44∙10⁶ Па; р₁/р_ид=0,94;

2) V=0,100л; р₂=1,01∙10⁷ Па; р_ид=1,44∙10⁷ Па; р₁/р_ид=0,70.

Чем меньше объем газа, при прочих равных условиях, тем сильнее отличается давление реального газа от давления идеального газа.

26. Два моля водорода расширяются в пустоту, в результате чего объем газа увеличивается от V₁=2,00л до V₂=10,0л. Какое количество тепла нужно сообщить газу, чтобы температура его не изменилась?

Н2 ν=2 V1=2,00л V2=10,0л Т1=Т2	Запишем уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольной массы газа: где ν – число молей; V – объем газа.
Q ‒ ?

Потенциальная энергия ν молей реального газа

Внутренняя энергия этого газа

(1)

Запишем первое начало термодинамики

(2)

Если газ расширяется в пустоту, он не производит работу, А=0. С учетом условия задачи Т₁=Т₂, соотношение (2) примет вид:

(3)

Подставим в (3) численные значения. Ван-дер-Ваальсова константа «а» для водорода (из табличных данных) равна а=0,024

26. Получить выражение для работы, совершаемой молем Ван-дер-Вальсовского газа при изотермическом расширении от объема V₁ до объема V₂. Температура Т. Сравнить с результатом для идеального газа.

Т V V2>V1	Работа газа по определению равна (1)
Ap‒? Aид‒?

Запишем уравнение Ван-дер-Ваальса для моля

(2)

Из (2) получим выражение для давления

(3)

и подставим (3) в (1):

Работа моля идеального газа при изотермическом расширении равна:

26. Моль кислорода, занимавший первоначально объем V₁= 1,000л при температуре ‒100°С расширился изотермически до объема V₂=9,712л. Найти:

1. Приращение внутренней энергии газа;

2. Работу А, совершенную газом (сравнить А с работой А_ид, вычисленной по формуле для идеального газа);

3. Количество полученного газом тепла Q.

О2 ν=1 V1=1,000л V2=9,712л t=−100°C	а) Внутренняя энергия моля реального газа Приращение внутренней энергии (1) так как Т=const.
∆U−? A−? Aид−? Q−?

б) Работа, совершаемая газом

(2)

Из уравнения Ван-дер-Ваальса для моля

найдем выражение для давления

(3)

Подставим (3) в (2) и получим

(4)

Работа моля идеального газа при изотермическом расширении

(5)

в) Количество полученного газом тепла определяется из I начала термодинамики:

(6)

Подставим численные значения в уравнения (1), (4), (5), (6). Для кислорода а=0,136 Па∙м⁶/моль²; b=3,2∙10^-5 м³/моль (табличные данные).

1. 

2. A=3,23кДж; А_ид=3,35кДж;

3. Q=3,35кДж.