Примерный вариан решения индивидуального домашнего задания
Найти интегралы:
№17.
.
►
=
=
=
=
.◄
№32.
.
► =
=
=-ln|x+1|-2ln|x-2|+2ln|x-3|+C.
◄
№33.
.
►
=
=
=
=
=
=
=
.◄
№34.
.
► =
=
=
=
=
=
.◄
№35.
.
►
=
=
=
=
=
=
.◄
№22.
.
►
=
=
=
=
=
=
=
.◄
№23.
.
► =
=
=
=
=
=
=
=
=
.◄
Занятие 6 Интегрирование тригонометрических функций
Знать:
Основные тригонометрические формулы;
основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
Уметь:
Использовать основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
Использование тригонометрических преобразований
Интегралы вида:
;
;
,
(16)
где
,
находятся с помощью формул:
;
;
.
Интегралы вида:
, (17)
Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной тригонометрической подстановки
=
;
.
На практике применяются и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции.
если функция R(sinx;cosx) нечётна относительно sinx, т.е. R(-sinx;cosx)=-R(sinx; cosx), то следует применить подстановку
t=cosx;
dt=
-sinxdx;
,
.
если функция R(sinx;cosx) нечётна относительно cosx, т.е. R(sinx;-cosx)=-R(sinx; cosx), то следует применить подстановку
t=sinx;
dt=cos x
dx;
.
если функция R(sinx;cosx) чётна относительно sinx и cosx, т.е. R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx), то следует применить подстановку
t=tgx;
;
,
.
Интегралы вида:
, (18)
1. где k, n — хотя бы одно число нечётное
отделить от нечётной степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
2. где k, n — чётные положительные
применить формулы понижения степени:
;
;
;
3. где k, n — нечётные положительные
отделить от наименьшей степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
4. где n — целое положительное число
применить подстановку t=sinx;
5. где k — целое положительное нечётное число
применить подстановку t=cosx;
6. где n+k — чётное отрицательное целое число
применить подстановку t=tgx;
7. где n и k — четные и хотя бы одно из них отрицательное
применить подстановку t=tg x или t=ctg x.
Интегралы вида:
,
,
(19)
если n=1, то
;
,
если n>1, воспользоваться формулами:
;
,
позволяющими понизить степень тангенса или котангенса непосредственно, отделяем один множитель и подводим его под знак дифференциала, находим исходный интеграл.
№6. Найти
интегралы: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
►1)
=
=
=
=
;
2)
=
=
=
=
=
=
=
=
;
3)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
;
4)
=
=
=
=
=
=
;
5)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+С;
6)
=
=
=
=
=
=
,
(
.◄
Аудиторное занятие
Найти интегралы:
№248.
.
Ответ:
.
№249.
.
Ответ:
.
№250.
.
Ответ:
.
№251.
.
Ответ:
.
№252.
.
Ответ:
.
№253.
.
Ответ:
.
№254.
.
Ответ:
.
№255.
.
Ответ:
.
№256.
.
Ответ:
.
№257.
.
Ответ:
.
№258.
.
Ответ:
.
№259.
.
Ответ:
.
№260.
.
Указание. Замена сosx=t.
Ответ:
.
№261.
.
Указание. Замена sinx=t.
Ответ:
.