Занятие 2 Метод подстановки (замена переменной) Цели

Знать:

• таблицу дифференциалов от основных элементарных функций;

• таблицу интегралов от основных элементарных функций;

• основные приёмы метода подведения под дифференциал.

Уметь:

• Находить интегралы методом непосредственного интегрирования и методом подведения под дифференциал.

Если интеграл непосредственно не берётся, то во многих случаях метод интегрирования заменой переменной приводит к цели.

Пусть требуется найти , где подынтегральная функция непрерывна. Применив подстановку , получим

. (9)

Не существует общего «рецепта», следуя которому можно всегда понять, какую подстановку надо применить к данному интегралу, однако после приобретённого навыка вы скоро научитесь этому. Однако следует иметь в виду следующие полезные подсказки:

• Если под знаком интеграла стоит сложная функция , как правило, используется подстановка .

• Если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции , т.е. выражение , то имеет смысл попробовать подстановку . Поэтому целесообразно запомнить таблицу дифференциалов.

• Правило поправочного коэффициента

, (a, b — const). (10)

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для нахождения интеграла следует:

1. переписать интеграл в виде ;

2. заменить , что приводит к равенству ;

3. вычислить последний интеграл;

4. в полученном ответе произвести обратную замену t= .

№2. Найти интегралы:1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ;

6) , 7) .

►1) = = = = =

= ;

Здесь и далее при записи решений примеров все промежуточные выкладки мы будем заключать между вертикальными линиями.

2) = = =

= =3х-ln|x+2|+C;

Замечание. Фактически мы здесь разделили числитель на знаменатель, т.е. из неправильной алгебраической дроби выделили целую часть.

Проверка. ;

3) = = = =t+C= ;

4) = = = = ;

5) = = = = ;

6) = = =lnt+C=ln|x²+x+1|+C;

7) = = = = =

= = t-arctg t= .◄

Аудиторное занятие

Найти интегралы:

№64. . Ответ: .

№65. . Ответ: .

№66. . Ответ: .

№67. . Ответ: .

№68. . Ответ: .

№69. . Ответ: .

№70. . Ответ: .

№71. . Ответ: .

№72. . Ответ: .

№73. . Ответ: ln|x²+5x-6|.

№74. . Ответ: .

№75. . Ответ: .

№76. . Ответ: sin(ln x).

№77. . Ответ: .

№78. . Ответ: .

№79. . Ответ: ln|2+ln x|.

№80. .

Указание. Подстановка х³=t. Ответ: .

№81. . Ответ: .

№82. . Ответ: .

№83. . Ответ: x-ln|e^x+1|.

Домашнее задание

Найти интегралы:

№84. . Ответ: .

№85. . Ответ: .

№86. . Ответ: .

№87. . Ответ: -ln |arccos x|.

№88. . Ответ: .

№89. . Ответ: .

№90. . Ответ: .

№91. . Ответ: .

№92. . Ответ: .

№93. . Ответ: .

№94. . Ответ: .

№95. . Ответ: .

№96. . Ответ: .

№97. .

Указание. Выделить . Ответ: .

№98. . Ответ: .

№ 99. . Ответ: .

№100. . Ответ: .

№101. .

Указание. . Ответ: .

№102. . Ответ: .

№103. . Ответ: .

№104. . Ответ: .

Дополнительные задания

Найти интегралы:

№105. . Ответ: .

№106. . Ответ: .

№107. . Ответ: .

№108. . Ответ: x-5ln|x+3|.

№109. . Ответ: .

№110. . Ответ: .

№111. . Ответ: .

№112. . Ответ: .

№113. . Ответ: .

№114. . Ответ: .

№115. . Ответ: .

№116. . Ответ: .

№117. . Ответ: .

№118. . Ответ: .

№119. . Ответ: .

№120. . Ответ: .

№121. . Ответ: .

№122. . Ответ: .

№123. . Ответ: .

№124. . Ответ: .

№125. . Ответ: .

№126. . Ответ: .

№127. . Ответ: .

№128. . Ответ: .

№129. . Ответ: .

№130. . Ответ: .

№131. . Ответ: .

№132. . Ответ: .

№133. .

Ответ: .

№134. .

Ответ: .

№135. .

Указание. Учесть, что .

Ответ: .