Магнитное поле. Магнитная индукция. Закон Био – Савара. Принцип суперпозиции. Магнитный момент.
Закон Био – Савара:
Магнитное поле прямого проводника с током конечной длины в точке, удаленной от проводника на расстояние .
Через проводник с током проведем ось y , а через заданную точку проведем ось x .
Из произвольной точки проводника проведем радиус – вектор в заданную точку.
Элемент
тока
создаст в заданной точке вектор
, направленный от нас перпендикулярно
плоскости рисунка.
Координаты и модуль вектора :
Применим закон Био – Савара для модуля вектора :
Магнитную индукцию, созданную всем проводником с током, найдем интегрированием по всему проводнику от угла до . Обратите внимание на то, как строится угол :
Для
бесконечно длинного проводника с током
(
):
Магнитное поле кругового проводника с током радиуса на оси проводника в точке, удаленной от центра проводника на расстояние .
Разобьем
проводник с током на бесконечно малые
кусочки с элементами тока
.
На рисунке один такой элемент тока
расположен в самом верху проводника
перпендикулярно плоскости рисунка и
смотрит на нас. От этого элемента тока
направим в заданную точку радиус –
вектор
. Затем построим вектор
, который расположен в плоскости рисунка
перпендикулярно радиусу – вектору. Все
бесконечное число векторов
от всех элементов тока образуют коническую
поверхность вокруг оси с углом
и при сложении дадут вектор
,
равны по модулю
.
Применим закон Био – Савара для модуля вектора :
В
центре кругового тока, где
:
Формула Ампера:
Принцип суперпозиции:
Магнитный момент контура с током:
113. Длинный прямой провод согнут под углом 120°. Сила тока в проводе 10 А. Найдите индукцию магнитного поля в точке, которая находится на перпендикуляре к плоскости, в которой лежит провод, восстановленном в точке изгиба на расстоянии 14, 1 см от этой точки.
Решение.
Изобразим вид сверху. Точка, в которой нужно найти величину индукции, находится над точкой изгиба проводника.
120°
Весь проводник с током в нашем случае состоит из двух полубесконечных проводников. Вектор магнитной индукции будет равен сумме одинаковых по модулю векторов и , каждый из которых перпендикулярен своему проводнику. Угол между векторами магнитной индукции равен 60°.
Величину
векторов
и
найдем по формуле (
):
Величину магнитной индукции найдем с помощью теоремы косинусов:
118. Коаксиальный кабель представляет собой металлическую тонкостенную трубку диаметром 2 см, вдоль оси которой расположен тонкий провод. Силы тока в трубке и в проводе одинаковы и равны 0,5 А. Токи направлены противоположно. Найдите магнитную индукцию в точках, находящихся на расстояниях 15 мм и 5 мм от оси кабеля.
Решение.
Для решения используем формулу Ампера для контура, совпадающего с линией магнитной индукции на расстоянии от оси:
В точке имеем
В точке имеем
124. Найдите магнитный момент, создаваемый точечным зарядом 1 нКл, движущимся по окружности радиуса 10 см с постоянной угловой скоростью 20 рад/с.
Решение.
Движущийся по окружности заряд образует ток с силой
Согласно формуле
129. Найдите магнитную индукцию в центре прямоугольника со сторонами 30 см и 40 см, по которому идет ток 10 А.
Решение.
Весь
проводник с током в нашем случае состоит
из двух пар проводников с длинами
и
.
Вектор магнитной индукции будет равен
сумме двух пар одинаковых по модулю
векторов
и
,
каждый из которых перпендикулярен
плоскости рисунка и направлен от нас.
Длину каждого вектора найдем по формуле ( ), где:
Имеем
130. По однородному прямолинейному длинному сплошному цилиндрическому проводнику из немагнитного материала диаметром 2 см идет равномерно распределенный по его сечению ток. Найдите, на каком расстоянии от поверхности цилиндра вне его магнитная индукция такая же, как и внутри цилиндра на расстоянии от оси, равном половине радиуса.
Решение.
Контур
Для решения используем формулу Ампера для контура, совпадающего с линией магнитной индукции на расстоянии от оси:
Внутри
цилиндра (r
)
вне цилиндра (r )
откуда
при
:
133. Найдите магнитный момент тонкого диска радиусом 5 см, равномерно заряженного с поверхностной плотностью заряда 10 мкКл/м2, когда диск вращается с угловой скоростью 100 рад/с.
Решение.
Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца с радиусом r толщины dr. На каждом кольце содержится заряд, равный
Вращающееся кольцо создает магнитный момент, равный
Магнитный момент всего диска найдем путем интегрирования от 0 до R:
134. На общей оси параллельно друг другу расположены два круговых витка радиусами 10 см. По виткам в одном направлении идут одинаковые токи силой 2 А. Расстояние между витками равно их радиусу. Найдите индукцию магнитного поля в центре каждого витка.
Решение.
В центрах каждого витка магнитное поле создается обоими токами. Для решения используем формулу :
