Многошаговые методы численного интегрирования дифференциальных уравнений

Одношаговые методы численного решения ДУ для нахождения значения в последующей точке используют только решение в точке . В этом разделе будут изложены многошаговые методы, использующие для решения задачи Коши информацию о нескольких точках. Широко распространенным семейством многошаговых методов являются методы Адамса. Различают явные и неявные многошаговые методы. Явные многошаговые методы используют явную схему (по известным значениям функции в предыдущих узлах находится значение в последующем узле ). К классу неявных методов относятся методы, использующие информацию о последующих и предыдущих точках.

К явной группе относятся методы Адамса-Башфорта, к неявной – методы Адамса-Моултона.

1. Методы Адамса-Башфорта

Пусть дано уравнение с начальным условием .

,

(28)

Многошаговые методы численного интегрирования основываются на интерполяции правой части уравнения (28). Запишем это уравнение в виде и проинтегрируем его на отрезке :

где - точное значение функции в точке .

Идея состоит в том, чтобы заменить функцией, интеграл от которой легко вычисляется. Существует множество типов интерполирующих функций; в этом разделе рассмотрим методы, связанные с полиномиальной интерполяцией. Функция заменяется полиномом степени , таким, что (многочлен аппроксимирует функцию на отрезке по значениям ).

Общая формула явного метода Адамса:

где - приближенные значения, найденные с помощью численного метода.

Явно интегрируя многочлен, получают формулы численного решения ДУ.

Простейший метод Адамса получается при и совпадает с методом Эйлера первого порядка точности:

(29)

При (порядок метода ) многочлен задает прямую, проходящую через точки .

Рис.1.

Интерполяционный многочлен Ньютона (далее ИМН) на :

.

Подставим значения , :

Проинтегрируем полином и подставим значения коэффициентов :

Получили формулу двухшагового метода Адамса-Башфорта:

(30)

Чтобы начать решение по формуле (3), необходимо знать значение .

Для запуска решения используется одношаговый метод того же порядка (для данного случая - метод Эйлера с пересчетом (метод трапеций), модифицированный метод Эйлера и т. д.):

Дальше работает только многошаговый метод:

Пример 1: , , .

Аналитическое решение: .

Рис.2.

Сведем это уравнение к СДУ второго порядка:

Запишем систему в векторной форме:

, , , .

Используем явный двухшаговый метод (30):

.

Возьмем .

Первые две точки решения получим одношаговым методом трапеций:

Теперь у нас достаточно данных для продолжения решения только двухшаговым методом:

Пусть , есть квадратичный полином, интерполирующий данные (рис. 3).

Рис.3.

Итерполяционный многочлен Ньютона, построенный по этим точкам,

Найдем коэффициенты интерполяционного многочлена:

Определим значение интеграла

.

Введем замену переменных

,

(31)

Тогда:

Определенный интеграл:

Формула трехшагового метода Адамса-Башфорта имеет вид:

,

(32)

Решение запускается с помощью одношагового метода третьего порядка точности:

,

В практических расчетах чаще всего используется вариант метода Адамса, имеющий четвертый порядок точности и использующий на каждом шаге результаты предыдущих четырех ( , интерполяционный многочлен здесь является кубическим полиномом). Именно его и называют обычно методом Адамса:

,

(33)

Методы более высоких порядков получаются при увеличении числа предыдущих точек. С ростом степени многочлена формулы становятся более громоздкими, но принцип остается тем же.

Для запуска решения используется метод Рунге-Кутта того же порядка.

Получим формулу (33).

Итерполяционный многочлен Ньютона:

.

Пусть .

Определим разность первого порядка функции как , а разности более высокого порядка как результат повторного применения этой операции:

, - биномиальные коэффициенты

(34)

С помощью разностей (7) определим полином степени N как:

, ,

(35)

При многочлен примет вид:

,

Введя замену (34), получим:

, .

Найдем интеграл:

Отсюда непосредственно следует формула (33).

Объем вычислений по методу Адамса примерно в четыре раза меньше, чем в методе Рунге-Кутта, поскольку последний требует четырехкратного вычисления правой части уравнения на каждой итерации, а в методе Адамса правая часть вычисляется один раз; остальные значения ( , и ) однократно вычисляются на предыдущих трех итерациях и пересылаются в текущую итерацию простым копированием. Такая экономия особенно существенна, если в правой части ДУ стоит сложное аналитическое выражение.