- •Основные понятия и определения
- •Метод эйлера
- •Ошибка метода Эйлера
- •Метод Хьюна
- •Методы Рунге-КуттЫ.
- •Явные одношаговые методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования
- •Метод рунге-кутта четвертого порядка точности с автоматическим контролем шага
- •Метод рунге-кутта-мерсона с контролем шага
- •Метод фельдберга с контролем шага
- •Метод ингленда с контролем шага
- •Многошаговые методы численного интегрирования дифференциальных уравнений
- •Методы Адамса-Башфорта
- •Методы Адамса-Моултона
- •Методы прогноза-коррекции
Метод рунге-кутта четвертого порядка точности с автоматическим контролем шага
Метод Рунге - Кутта четвертого порядка точности:
Последующее значение функции определяется при помощи выражения
yn+1 = уn + (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4) / 6, |
(1) |
где коэффициенты вычисляются по формулам:
k1 = h f ( хn, уn) , |
(2) |
k2 = h f ( xn + h/2, yn + k1 /2), |
(3) |
k3 = h f ( xn + h/2, yn + k2 /2) , |
(4) |
k4 = h f ( xn + h, уn + k3) . |
(5) |
Метод описывается выражениями (1) - (5) , коэффициент К=32, а локальная погрешность на шаге интегрирования определяется как
p = 2 (k1 - k2 - k3 + k4) / 3 .
Метод рунге-кутта-мерсона с контролем шага
Метод Рунге - Кутта – Мерсона :
Реализуется интегрирование по формуле:
yn+1 = yn + (k1 + 4k4 + k5) / 6, |
(6) |
где коэффициенты определяются по следующим выражениям:
k1 = h f (xn, yn) , |
(7) |
k2 = h f (xn + h/3, yn + k1 /3) , |
(8) |
k3 = h f (xn + h/3, yn + k1 /6+ k2/6), |
(9) |
k4 = h f (xn + h /2, yn + k1 /8 + 3k3/8) , |
(10) |
k5 = h f (xn + h, yn + k1 /2 - 3k3/2 + 2k4) . |
(11) |
Метод реализуется системой (6) - (11), с коэффициентом К=32, локальная
погрешность рассчитывается по формуле
p= (k1 - 4k2 + 2k3 + k4) / 6.
Метод фельдберга с контролем шага
Методы Фельберга :
Формула для пятого порядка точности имеет вид
yn+1 = yn + 16k1 /135 + 6656 k3/12825 + 28561 k4/56430 - 9 k5/50 + 2 k6/55 . |
(12) |
Формула для четвертого порядка точности
yn +1= yn + 25 k1/216 + 1408 k3/2565 + 2197 k4/4104 – k5/5. |
(13) |
Коэффициенты в ( 12 ) и ( 13 ) определяются по формулам:
k1 = h f (xn, yn) , |
(14) |
k2 = h f (xn + h /4, yn + k1 /4) , |
(15) |
k3 = h f (xn + 3 h /8, yn + 3 k1 /32 + 9 k2/32), |
(16) |
k4 = h f (xn +12 h /13, yn +1932 k1 /2197-7200 k2/2197 + 7296k3/2197) , |
(17) |
k5 = h f (xn + h, yn +439 k1 /216 -8 k2+3680 k3/513 -845 k4/4104 ) , |
(18) |
k6= h f (xn + h /2 , yn -8 k1/27 + 2 k2-3544 k3/2565 + 1859 k4/4104 - 11 k5/40). |
(19) |
Для четвертого порядка точности используются формулы (12) - (19), коэффициент К = 32, локальная погрешность
p= k1/360 - 128k3/4275 + 127k4/6840 + k5/50 + 2k6/55.
Метод ингленда с контролем шага
Методы Ингленда :
Формула для метода пятого порядка точности имеет вид
yn+1 = yn + (14 k1 + 35 k4+ 162 k5 + 126 k6) / 336. |
(20) |
Формула для метода четвертого порядка точности
yn+1 = yn + (k1 + 4 k3 + k4) /6 . |
(21) |
Коэффициенты (52) и (53) находятся по формулам :
k1 = h f (xn, yn) , |
(22) |
k2 = h f (xn + h/2, yn + k1 /2) , |
(23) |
k3 = h f (xn + h/2, yn + [k1 + k2] / 4) , |
(24) |
k4= h f (xn + h, yn - k2 + 2 k3) , |
(25) |
k5= h f (xn + 2h/3, yn + [7k1 + 10 k2 + k4] /27) , |
(26) |
k6 = h f (xn +h/5, yn +[28 k1 -125 k2+546 k3 + 54 k4-378 k5] /625). |
(27) |
При четвертом порядке точности применяются выражения (20) - (27), коэффициент К = 32, выражение локальной погрешности
p = (-42k1 -224k3 +21k4 + 162k5 + 125k6) / 336.