4. Парабола

Параболой называется множество всех точек на плоскости, каждая из которых одинаково удалена от заданной точки этой же плоскости, называемой фокусом, и от заданной прямой, называемой директрисой.

Число p>0 называется параметром параболы и равно расстоянию от фокуса F до директрисы l.

Если фокус параболы находится в точке , а директриса N имеет уравнение , то такая парабола имеет каноническое уравнение:

, (18)

Точка называется вершиной параболы.

Ось - ось симметрии параболы.

Расстояние от точки параболы до фокуса F (фокальный радиус) вычисляется по формуле

. (19)

Рис.6

Парабола, симметричная относительно оси , с вершиной в начале координат, имеет уравнение

, (20)

Фокус параболы находится в точке .

Уравнение директрисы этой параболы

. (21)

Фокальный радиус точки параболы

. (22)

Графики парабол и строятся в полуплоскостях, соответствующих отрицательным значениям переменных и .

Пример 4.1.

Найти уравнение параболы, симметричной относительно оси , фокус которой находится в точке пересечения прямой с осью

Решение.

Найдем точку пересечения прямой с осью .

Т.к. расстояние от фокуса параболы до начала координат равно , то

Используя формулу (18), запишем уравнение параболы: .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

   1. парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси и ее параметр ;

   2. парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси и ее параметр ;

   3. парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси и ее параметр ;

   4. парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси и ее параметр .

2. Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

   1. парабола расположена симметрично относительно оси и проходит через точку ;

   2. парабола расположена симметрично относительно оси и проходит через точку ;

   3. парабола расположена симметрично относительно оси и проходит через точку ;

   4. парабола расположена симметрично относительно оси и проходит через точку .

4. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Изобразить эти линии на чертеже.

5. Найти фокус и уравнение директрисы параболы .

6. Вычислить фокальный радиус точки параболы , если абсцисса точки равна 7.

7. Вычислить фокальный радиус точки параболы , если ордината точки равна 6.

8. На параболе найти точки, фокальный радиус которых равен 13.

9. Составить уравнение параболы, если дан фокус и уравнение директрисы .

10. На параболе найти точку, расстояние которой от директрисы параболы равно 4.

11. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси и отсекающей на прямой хорду длиной .

12. На параболе найти точку, расстояние которой от прямой равно 2.

4. Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными осям координат. Приведение общего уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением текущих координат,

   к каноническому виду

Даны две прямоугольные системы координат и со свойствами: оси и , а также и параллельны и одинаково направлены, а начало системы имеет известные координаты относительно системы .

Тогда координаты и произвольной точки плоскости связаны соотношениями:

(23)

Формулы (18) называются формулами преобразования координат при параллельном переносе осей координат.

Уравнение эллипса с полуосями и , центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям, имеет вид:

, (24)

Рис.7

Уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид:

, (25)

где - координаты центра гиперболы.

Уравнение параболы с осью симметрии, параллельной оси абсцисс, имеет вид:

, (26)

, (27)

Если ось параболы параллельна оси ординат, то

, (28)

, (29)

Пример 5.1.

Уравнение линии привести к каноническому виду и построить ее.

Решение.

Выделим в правой части уравнения полные квадраты:

Уравнение определяет гиперболу с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью . Прямые и являются осями симметрии гиперболы, параллельными координатным осям и соответственно.

Построим основной прямоугольник гиперболы со сторонами и с центром в точке (рис. 8). Диагонали этого прямоугольника являются асимптотами гиперболы.

Рис.8

Найдем уравнения асимптот. Так как асимптоты проходят через точку и имеют угловые коэффициенты (см. уравнение (12)), то уравнения прямых запишутся следующим образом:

; ; ; .

Получим уравнения асимптот: и .

Найдем вершины гиперболы. В системе координат : , , т.е. , ; , ; . Из формул (23) получим:

Точка : Точка :

Итак, в системе координат вершины гиперболы выглядят следующим образом: , .

Найдем фокусы гиперболы. Из формулы (10) имеем: ; . Координаты фокусов в системе координат : и .

Точка : Точка :

В системе координат координаты фокусов: ,

По формуле (11) вычислим эксцентриситет:

Задачи для самостоятельного решения:

Каждое из следующих уравнений путем параллельного переноса привести к каноническому виду; определить тип; изобразить на чертеже расположение геометрических образов относительно старых и новых координат. Определить основные характеристики.

1. 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8. 16.