1. Представление исходных данных в развернутом виде
Исходные данные в развернутом виде представлены в табл. 1.
Таблица 1
E |
Проверки πj |
P(Ei) |
|||||
π1 |
π2 |
π3 |
π4 |
π5 |
π6 |
||
E0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0,619 |
E1 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
0,039 |
E2 |
1 |
–1 |
1 |
–1 |
1 |
1 |
0,054 |
E3 |
1 |
1 |
–1 |
–1 |
1 |
1 |
0,109 |
E4 |
1 |
1 |
1 |
–1 |
1 |
1 |
0,084 |
E5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
–1 |
–1 |
0,026 |
E6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
–1 |
0,069 |
Α |
0,012 |
0,03 |
0,07 |
0,02 |
0,01 |
0,06 |
|
Β |
0,02 |
0,05 |
0,08 |
0,03 |
0,008 |
0,09 |
|
2. Определение элементов алгебры информационных состояний и подмножеств допустимых проверок.
Для заданного множества изображений видов технического состояния системы
E = {E0, E1, E2, E3, E4, E5, E6} (1п)
определим
необходимые элементы алгебры (13), т.е.
информационные состояния Rk
А
и
соответствующие
им подмножества разрешенных проверок
Πk.
Из условия (7) находим, что в начальном
информационном состоянии Rk
=
E
все
проверки являются допустимыми. В
соответствии с выражением (16) определим
информационные состояния Rk,
которые получаются из начального
состояния E
при
положительном
и отрицательном
исходах каждой из проверок πj,
.
Для этого используем табл.1. Например,
проверка π4
дает положительный исход в работоспособном
состоянии, а также при отказах 5 и 6 блоков
(для краткости эти виды технического
состояния будем обозначать их изображениями
E0,
E5,
E6
соответственно).
Отрицательный исход проверка π4
дает
при
E1,
E2,
E3,
E4.
Следовательно
=
{E0,
E5,
E6},
(2п)
=
{E1,
E2,
E3,
E4}.
(3п)
В соответствии с выражением (30) в информационном состоянии (2п) допустимые проверки образуют подмножество
Πk = {π5, π6}, (4п)
а в состоянии (3п) – подмножество
Πk = {π1, π2, π3, π5, π6}. (5п)
Аналогично найдем информационные состояния Rk, получаемые из E с помощью остальных проверок. Найденные информационные состояния включаются в множество А. Для каждого из них определим по формуле (30) разрешенные проверки, а в соответствии с выражением (16) – новые информационные состояния, которые получаются с помощью этих проверок.
Процесс продолжается до получения состояний Rk, содержащих не более двух элементов. Найденные состояния Rk А (за исключением конечных Ri), упорядочиваем по числу содержащихся в них элементов и заносим в графу 2, табл.2. Упорядоченные состояния обозначены как R7, R8,…, R40. Предшествующие им состояния R0, R1,…, R6 являются конечными и в таблицу не заносятся. Подмножества допустимых проверок Π7, Π8,…, Π40 в состояниях R7, R8,…, R40 соответственно заносим в графу 3, табл.2.
Таблица 2
№ пп |
Информационные состояния Rk |
Множества Πk допустимых проверок в состояниях Rk |
Результаты расчетов |
|
Оптимальная проверка πj |
D(Rk) |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
R7={ E0, E2} |
Π7={π2, π4} |
π4 |
0,9774 |
2 |
R8={ E0, E3} |
Π8={π3, π4} |
π4 |
0,9746 |
3 |
R9={ E0, E4} |
Π9={π4} |
π4 |
0,9754 |
4 |
R10={ E0, E6} |
Π10={π6} |
π6 |
0,9486 |
5 |
R11={ E1, E2} |
Π11={π1, π3, π5, π6} |
π5 |
0,9910 |
6 |
R12={ E1, E3} |
Π12={π1, π2, π5, π6} |
π5 |
0,9915 |
7 |
R13={ E1, E5} |
Π13={π1, π2, π3, π4} |
π1 |
0,9760 |
8 |
R14={ E2, E3} |
Π14={π2, π3} |
π2 |
0,9635 |
9 |
R15={ E2, E4} |
Π15={π2} |
π2 |
0,9585 |
10 |
R16={ E3, E4} |
Π16={π3} |
π3 |
0,9258 |
11 |
R17={ E5, E6} |
Π17={π5} |
π5 |
0,9915 |
12 |
R18={ E0, E2, E3} |
Π18={π2, π3, π4} |
π2 |
0,9652 |
13 |
R19={ E0, E2, E4} |
Π19={π2, π4} |
π4 |
0,9671 |
14 |
R20={ E0, E2, E6} |
Π20={π2, π4, π6} |
π4 |
0,9319 |
15 |
R21={ E0, E3, E4} |
Π21={π3, π4} |
π4 |
0,9523 |
16 |
R22={ E0, E3, E6} |
Π22={π3, π4, π6} |
π4 |
0,9323 |
17 |
R23={ E0, E4, E6} |
Π23={π4, π6} |
π4 |
0,9318 |
18 |
R24={ E0, E5, E6} |
Π24={π5, π6} |
π6 |
0,9499 |
19 |
R25={ E1, E5, E6} |
Π25={π1, π2, π5} |
π5 |
0,9781 |
20 |
R26={ E2, E3, E4} |
Π26={π2, π3} |
π3 |
0,9129 |
21 |
R27={ E0, E2, E3, E4} |
Π27={π2, π3, π4} |
π4 |
0,9316 |
22 |
R28={ E0, E2, E3, E6} |
Π28={π2, π3, π4, π6} |
π2 |
0,9257 |
23 |
R29={ E0, E2, E4, E6} |
Π29={π2, π4, π6} |
π4 |
0,9264 |
24 |
R30={ E0, E2, E5, E6} |
Π30={π2, π4, π5, π6} |
π5 |
0,9325 |
25 |
R31={ E0, E3, E4, E6} |
Π31={π3, π4, π5} |
π4 |
0,9129 |
26 |
R32={ E0, E3, E5, E6} |
Π32={π3, π4, π5, π6} |
π5 |
0,9327 |
27 |
R33={ E0, E4, E5, E6} |
Π33={π4, π5, π6} |
π4 |
0,9323 |
28 |
R34={ E1, E2, E3, E4} |
Π34={π1, π2, π3, π5, π6} |
π2 |
0,9194 |
29 |
R35={E0,E2, E3, E4, E6} |
Π35={π2, π3, π4, π6} |
π4 |
0,9237 |
30 |
R36={E0,E2, E3, E5, E6} |
Π36={π2, π3, π4, π5, π6} |
π4 |
0,9260 |
31 |
R37={E0,E2, E4, E5, E6} |
Π37={π2, π4, π5, π6} |
π5 |
0,9267 |
32 |
R38={E0,E3, E4, E5, E6} |
Π38={π3, π4, π5, π6} |
π5 |
0,9136 |
33 |
R39={E0, E2, E3, E4, E5, E6} |
Π39={π2, π3, π4, π5, π6} |
π5 |
0,9181 |
34 |
R40={E0,E1,E2,E3,E4,E5, E6} |
Π40={π1, π2, π3, π4, π5, π6} |
π4 |
0,9071 |
3. Определение оптимальных проверок в каждом информационном состоянии
Для каждого информационного состояния Rk А найдем оптимальную проверку по критерию (26).
Вначале такие проверки найдем для состояний R7…R17, содержащих по два элемента. В каждом из состояний R9, R10, R15, R16, R17 допустимой является только одна проверка. Например, в состоянии R9 – это проверка π4. Ее и выбираем в качестве оптимальной в данном состоянии.
В состоянии R11 допустимы проверки из множества Π11={π1, π3, π5, π6}. Определим эффективность каждой проверки в порядке их записи в множестве Π11.
1). В соответствии с выражением (16) проверка π1 дает информационные состояния:
:R11→
R2={E2},
:R11→
R1={E1}.
2). По формулам (28) и (29) определяем:
=
0,98;
=
0,012;
=
0,02;
=
0,988.
3). По формуле (27) находим
0,9833.
0,9855.
4). Далее учитываем, что в соответствии с выражением (25) уточненные вероятности видов технического состояния объекта E1 и E2 находятся следующим образом:
0,4194;
0,5806.
5). По формуле (24) вычисляем эффективность проверки π1 в информационном состоянии R11:
= 0,4194·0,9833 + 0,5806·0,9855 = 0,9846.
Аналогичным путем определяем эффективность проверок π3, π5, π6 в информационном состоянии R11:
D11(π3) = 0,9250; D11(π5) = 0,9910; D11(π6) = 0,9170.
В соответствии с условием (26) в качестве оптимальной проверки в информационном состоянии R11 выбираем проверку π5. Полученный результат заносим в графы 4 и 5 табл.2 (строка5).
Рассмотрим, например, информационное состояние R14={E2, E3}. В нем допустимы проверки из множества Π14={π2, π3}.
Эффективность проверки π2.
1).
:R14→
R3={E3},
:R14→
R2={E2}.
2).
=
0,95;
=
0,03;
=
0,05;
=
0,97.
3).
0,9401.
0,9751.
4).
0,3313;
0,6687.
5).
= 0,3313·0,9401 + 0,6687·0,9751 = 0,9635.
Эффективность проверки π3.
1).
:R14→
R2={E2},
:R14→
R3={E3}.
2).
=
0,93;
=
0,08;
=
0,07;
=
0,92.
3).
0,8521.
0,9637.
4).
0,3313;
0,6687.
5).
= 0,3313·0,8521 + 0,6687·0,9637 = 0,9267.
В информационном состоянии R14 оптимальная проверка – π2.
В таком же порядке находятся оптимальные проверки в состояниях R7, R8, R12, R13. Результаты заносятся в графы 4 и 5 табл.2.
На следующем шаге определяются оптимальные проверки в состояниях R18…R26, содержащих по три элемента, причем для вычислений используются результаты предыдущих расчетов.
Рассмотрим информационное состояние R24={ E0, E5, E6} с множеством допустимых проверок Π24={π5, π6}.
Эффективность проверки π5.
1).
:R24→
R10={
E0,
E6},
:R24→
R5={E5}.
2). Из строки 4 табл.2 находим, что оптимальной проверкой в состоянии R10 является π6, поэтому согласно формулам (28) и (29) имеем
=
(1–
0,01)(1–
0,06)
= 0,9306;
=
0,008·0,09
= 0,0007;
=
(1–
0,01)
·0,09 = 0,0891;
=
0,01;
=
0,992;
=
0,01;
=
(1– 0,01)·0,06
= 0,0594;
=
0,008·(1–
0,09)
= 0,0073;
=
(1–
0,01)(1–
0,09)
= 0,9009.
3). По формуле (27) находим
0,9894;
0,7894;
0,6271.
4).
0,8669;
0,0364;
0,0967.
5). Эффективность проверки π5 в состоянии R24 при условии, что последующей проверкой является π6:
=
0,8669·0,9894 + 0,0364·0,7894 + 0,0967·0,6271= 0,9471.
Эффективность проверки π6.
1).
:R24→
R0={E0},
:R24→
R17={E5,
E6}.
2). Из строки 11 табл.2 находим, что оптимальной проверкой в состоянии R17 является π5, поэтому
=
0,94;
=
0,09;
=
0,09;
=
0,06·0,01=0,0006;
=
(1–
0,09)(1–
0,008)
= 0,9027;
=
(1–
0,09)·0,01
= 0,0091;
=
0,06(1– 0,01)
= 0,0594;
=
(1–
0,09)·0,008=
0,0073;
=
(1–
0,09)(1–
0,01)
= 0,9009.
3).
0,9855;
0,9592;
0,6271.
4).
P24(E0) =0,8669; P24(E5) =0,0364; P24(E6) =0,0967.
5). Эффективность проверки π6 в состоянии R24 при условии, что последующей проверкой является π5:
=
0,8669·0,9855 + 0,0364·0,9592 + 0,0967·0,6271= 0,9499.
В информационном состоянии R24 оптимальная проверка – π6.
В таком же порядке находятся оптимальные проверки во всех остальных информационных состояниях, содержащих по три элемента. Результаты заносятся в графы 4 и 5 табл.2.
На последующих шагах находим оптимальные проверки для состояний R27 – R34, затем для состояний R35 – R38, R39 – R40 и до конца заполняем графу 4 табл.2.
Рассмотрим в качестве заключительного примера информационное состояние R39={E0, E2, E3, E4, E5, E6} с множеством допустимых проверок Π39={π2, π3, π4, π5, π6}.
Эффективность проверки π2.
1). :R39→ R38={ E0, E3, E4, E5, E6}, :R39→ R2={E2}.
2). В строке 32 табл.2 находим, что оптимальной проверкой в состоянии R38 является π5.
2.1). :R38→ R31={ E0, E3, E4, E6}, :R38→ R5={E5}.
В строке 25 табл.2 находим, что оптимальной проверкой в состоянии R31 является π4.
2.2).
:R31→
R10={
E0,
E6},
:R31→
R16={E3,
E4}.
В строках 4 и 10 табл.2 находим, что в состоянии R10 оптимальная проверка π6, а в состоянии R16 – проверка π3.
:R10→ R0={E0}, :R10→ R6={E6};
:R16→ R4={E4}, :R16→ R3={E3}.
По формулам (28) и (29) находим
=
= (1– 0,03)(1– 0,01)(1– 0,02)(1– 0,06) = 0,8846;
=0,05·0,008·0,03·0,09
≈ 0;
=
(1– 0,03)(1– 0,01)·0,03·0,08 = 0,0023;
=(1–
0,03)(1– 0,01)·0,03(1– 0,07)=0,0268;
=
(1– 0,03)·0,008·0,03·0,09 ≈ 0;
=(1–
0,03)(1– 0,01)(1– 0,02)·0,09=0,0847;
=
0,03;
=
1– 0,03 = 0,97;
=
0,03;
=
0,03;
=
0,03;
=
0,03;
=
(1– 0,03)(1– 0,01)·0,02·0,07 = 0,0013;
=
0,05·0,008·(1– 0,03)(1– 0,08)= 0,0004;
=
= (1– 0,03)(1– 0,01)(1– 0,03)(1– 0,08) = 0,8570;
=(1–0,03)(1–0,01)(1–
0,03)·0,07= 0,0652;
=(1–0,03)·0,01·(1–
0,03)(1– 0,08)= 0,0087;
=(1–0,03)(1–0,01)·0,02·(1–
0,08)= 0,0177;
=(1–0,03)(1–0,01)·0,02·(1–
0,07)= 0,0179;
=0,05·0,008(1–
0,03)·0,08 ≈ 0;
=(1–0,03)(1–0,01)(1–
0,03)·0,08= 0,0745;
=
=(1–0,03)(1–0,01)(1– 0,03)(1– 0,07) = 0,8663;
=
(1–0,03)·0,008·(1– 0,03)·0,08= 0,0006;
=(1–
0,03)(1– 0,01)·0,02·0,08= 0,0015;
=
(1– 0,03)·0,01 = 0,0970;
=
0,05(1– 0,01) = 0,0495;
=
(1– 0,03)0,01= 0,097;
=
(1– 0,03)0,01= 0,097;
=
(1– 0,03)(1– 0,008) = 0,9622;
=
(1– 0,03)0,01= 0,097;
=(1–0,03)(1–0,01)(1–
0,02)·0,06= 0,0565;
=0,05·0,008·0,03(1–
0,09) ≈ 0;
=(1–0,03)(1–0,01)·0,03·(1–
0,09)= 0,0262;
=(1–0,03)(1–0,01)·0,03·0,06
= 0,0017;
=(1–0,03)·0,008·0,03·(1–
0,09) = 0,0002;
=
= (1–0,03)(1–0,01)(1– 0,02)(1– 0,09)= 0,8564.
3). По формуле (27) находим
=
0,9850;
= 0,6581;
= 0,9234;
= 0,7902;
= 0,2211;
= 0,6088.
4).
=
0,6441;
=
0,0562;
=
0,1134;
=
0,0874;
=
0,0271;
=
0,0718.
5). Эффективность проверки π2 в состоянии R39 при условии, что затем выполняются проверки π5, π4, π3, π6:
= 0,6441·0,9850 + 0,0562·0,6581 + 0,1134·0,9234 + 0,0874·0,7902 + 0,0271·0,2211 + + 0,0718·0,6088 = 0,8949.
Аналогичным путем определяем эффективность проверок π3, π4, π5, π6 в информационном состоянии R39:
D39(π3) = 0,8706; D39(π4) = 0,9027; D39(π5) = 0,9181; D39(π6) = 0,8732.
В информационном состоянии R39 оптимальная проверка – π5.
4. Синтез гибкой программы диагностирования, оптимальной по критерию максимума средней вероятности принятия правильного решения о техническом состоянии системы
В начальном информационном состоянии R40={E0,E1,E2,E3,E4,E5,E6} оптимальной проверкой является π4 (табл.2, строка 34). Она и будет первой в синтезируемой программе. Согласно условию (16)
:R40→ R24={E0, E5, E6}, :R40→ R34={E1, E2, E3, E4}.
В состоянии R24 оптимальная проверка – π6 (табл.2, строка 18), причем
:R24 → R0={E0}, :R24 → R17 ={E5, E6}.
Состояние R0={E0} является конечным. Таким образом, подмножеством оптимальных проверок для определения работоспособного состояния объекта является Π0={π4, π6}. В состоянии R17 ={E5, E6} оптимальная проверка – π5 (табл.2, строка 11), причем
:R17→ R6={E6}, :R17→ R0={E5}.
Состояния R5 ={E5} и R6={E6} являются конечными, следовательно, для определения отказов пятого и шестого блоков существует одно и то же подмножество оптимальных проверок, т.е. Π5= Π6 ={π4, π6, π5}.
Аналогично находятся подмножества оптимальных проверок для определения отказов остальных функциональных элементов.
5. Граф-дерево оптимальной программы диагностирования системы
6. Средняя вероятность правильного диагностирования системы
D = P(E0)(1 –α4)(1 –α6) + P(E1)(1 –β4)(1 – β2)(1 –β5) + P(E2)(1 – β4)(1 –β2)(1 –α5) +
+P(E3)(1 –β4)(1 –α2)(1 –β3) + P(E4)(1 –β4)(1 –α2)(1 –α3) +P(E5)(1 –α4)(1 –β6)(1 –β5)+
+P(E6)(1–α4)(1 –β6)(1–α5)=0,619(1–0,02)(1–0,06) +0,039(1–0,03)(1–0,05)(1–0,008)+
+0,054(1–0,03)(1–0,05)(1–0,01) + 0,109(1–0,03)(1–0,03)(1–0,08)+
+0,084(1–0,03)(1–0,03)(1–0,07) + 0,026(1–0,02)(1–0,09)(1–0,008)+
+0,069(1–0,02)(1–0,09)(1–0,01) = 0,5702 + 0,0357 + 0,0493 + 0,0944 + 0,0735 +
+ 0,0230 + 0,0609 = 0,9070.