Исходные данные для синтеза оптимальной программы диагностирования:

1. Множество изображений видов технического состояния

E ={ E_i| }. (4)

2. Дискретное распределение вероятностей на множестве видов технического состояния

P ={ P(E_i)| }. (5)

3. Множество проверок

Π = {π_j| }, (6)

на котором изображения видов технического состояния попарно различимы между собой, т.е. выполняется условие

E_i, E_f, i ≠ f, π_j: e_ij ≠ e_fj. (7)

4. Множество вероятностей ошибок первого рода производимых проверок

A = {α_j| }. (8)

5. Множество вероятностей ошибок второго рода производимых проверок

B = {β_j| }. (9)

Требуется:

найти для каждого вида технического состояния упорядоченное подмножество проверок

Π_i Π,

такое что

Π_i ={π_j| π_j Π, E_i E, E_f E\{E_i}, e_ij ≠ e_fj}. (10)

Физически соотношение (10) означает, что каждое подмножество Π_i содержит такие проверки, на которых все виды технического состояния наблюдаемы, т.е. изображения попарно различимы между собой (подмножество допустимых проверок).

Кроме того необходимо, чтобы это подмножество содержало наиболее эффективные в определенном смысле проверки.

Упорядоченность каждого подмножества Π_i понимается в том смысле, что порядок расположения проверок в нем не произвольный, а соответствует очередности их выполнения в процессе диагностирования.

Множество

Π^*= Π_i (11)

будет содержать необходимые проверки для распознавания всех m видов технического состояния. Множество проверок Π^* в сочетании с правилами, определяющими порядок их выполнения, и образует гибкую программу диагностирования.

Теоретические основы синтеза программ диагностирования

Процесс диагностирования, связанный с выполнением ряда проверок, исходы которых заранее непредсказуемы, необходимо рассматривать как случайный эксперимент. Универсальной математической моделью случайного эксперимента является вероятностное пространство. Применительно к рассматриваемому эксперименту его математическая модель задается множествами

M = (E, A, P, Θ), (12)

где E - множество изображений видов технического состояния;

A –алгебра подмножеств множества E, в которой элементы R имеют смысл информационных состояний моделируемого процесса:

A= {R|R E}; (13)

P– вероятностная мера, заданная на алгебре A:

P = {P(R)| P(R)= , R A}; (14)

Θ – множество операторов, описывающих переходы от начального информационного состояния R = E к конечным информационным состояниям R_i ={E_i}, каждое из которых содержит единственный элемент E_i, означающий опознанный вид технического состояния:

Θ = {θ_i| θ_i: E→ E_i, }. (15)

До начала диагностирования неизвестно, какому виду технического состояния соответствует реальное состояние объекта, а поэтому начальное информационное состояние совпадает с множеством E, т.е. R = E. При выполнении первой и последующих проверок из множества E исключаются те E_i E, которые несовместимы с исходами выполняемых проверок. Таким образом, после каждой проверки исходное информационное состояние R = E сокращается. Процесс продолжается до получения конечного информационного состояния, содержащего единственный элемент E_i. Данное информационное состояние обозначается через R_i, а все остальные информационные состояния, содержащие два и более элементов, - через R_k.

Отдельная проверка π_j при ее r-м исходе переводит процесс диагностирования из некоторого информационного состояния R_k E в состояние , т.е. реализует отображение

π_j:R_k→ , (16)

где = {E_i|E_i R_k, π_j = , r {–1, 1}}.

Для достижения конечного информационного состояния R_i в общем случае требуется определенное количество раз выполнить отображение (16), используя при этом разные проверки π_j Π. Они находятся при синтезе программы диагностирования. В совокупности эти проверки составляют подмножество Π_i Π проверок, необходимых для идентификации реального технического состояния объекта с одним из заданных видов его технического состояния.

С учетом этого, всякий оператор θ_i из множества Θ, входящего в модель (12), формально может быть описан в виде композиции отображений (16), реализуемых одной проверкой:

θ_i = . (17)

Так как первая проверка π_j Π_i применяется в начальном информационном состоянии R_k = E, а последняя приводит к получению конечного информационного состояния = R_i, то правая часть выражения (17) может быть записана в виде

, . (18)