6. Общие сведения об оптимизационных задачах. Л10

Оптимизационные задачи широко распространены в технической и финансовой сфере (транспортная задача, задача о назначении и др). Признаком оптимизационной задачи является требование поиска экстремума некоторой функции. Решение оптимизационной задачи заключается в получение оптимального значения выбранного параметра.

Математическая формулировка задачи включает три части: целевую функцию; ограничения; граничные условия. В том случае, если в ограничения и целевую функцию переменные входят в первой степени, задача называется линейной. Нахождение оптимальных значений переменных линейной задачи называется задачей линейного программирования.

Таким образом задача линейного программирования включает: а) целевую функцию, которую следует максимизировать или минимизировать; б) ограничения записанные в виде равенств; в) ограничения записанные в виде неравенств; д) граничные условия, которые показывают предельно допустимые минимальные d_j и максимальные значения D_j переменных.

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

.

7. Постановка транспортной задачи. Л11

Фирма имеет 4 фабрики по производству электродов для ручной сварки и 5 центров распределения продукции. Фабрики располагаются в Мариуполе, Донском, Торезе, Киеве с производственными возможностями 200, 150, 225, 175 единиц продукции ежедневно. Распределительные центры располагаются в Мариуполе, Краматорске, Харькове , Виннице и Дружковке с потребностями 100, 200, 50, 250, 150 единиц продукции ежедневно, соответственно. Хранение на фабрике не поставленной в центр распределения единицы продукции обходится 5 грн в день, а штраф за просрочку поставки заказанный потребителем в центр распределения единицы продукции, но там не находящейся, равен 10 грн в день.

Необходимо так спланировать перевозки, чтобы минимизировать суммар­ные транспортные расходы.

Важно отметить, что т. к. данная модель сбалансирована, т. е. суммарный объем произведенной продукции равен суммарному объему потребностей в ней, то в этой модели не надо учитывать издержки, связанные как со скла­дированием, так и с недопоставками продукции. В противном случае в модель надо ввести:

• в случае перепроизводства — фиктивный пункт распределения; стои­мость перевозок единицы продукции в этот фиктивный пункт полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок в этот пункт рав­ны объемам складирования

излишек продукции на фабриках;

• в случае дефицита — фиктивную фабрику; стоимость перевозок единицы продукции из фиктивной фабрики полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок из этой фабрики равны объемам недопоставок продукции в пункты распределения.

Для решения данной задачи построим ее математическую модель. Неизвест­ными здесь являются объемы перевозок. Пусть x_ij — объем перевозок с i-й фабрики в j-й центр распределения. Функцией цели являются суммарные транспортные расходы, т. е.

,

где с_ij— стоимость перевозки единицы продукции с i-й фабрики в j-й центр распределения. Кроме того, неизвестные должны удовлетворять следующим ограничениям:

• неотрицательность объема перевозок;

• т. к. модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена с фабрик, и потребность всех центров распределения должна быть пол­ностью удовлетворена.

Таким образом, мы имеем следующую модель:

• минимизировать:

,

• при ограничениях:

, ,

, ,

, ,

где a_i— — объем производства на i-й фабрике, b_j –спрос в j-м центре распределения.

8. Средство “Поиск решения” для решения оптимизационных задач л12

Выполните следующую подготовительную работу для решения транспортной задачи с помощью средства Поиск решения (рис. 8.1).

1. Введите в ячейки диапазона B3:F6 стоимости перевозок.

2. Отведите ячейки диапазона B8:F11 под значения неизвестных (объемов перевозок).

3. Введите в ячейки диапазона Н8:H11 объемы производства на фабриках.

4. Введите в ячейки диапазона В13:F13 потребность в продукции в пунктах распределения.

1. В ячейку В16 введите функцию цели =СУММПРОИЗВ(ВЗ:F6;В8:F11)

5. В ячейки диапазонов G8:G11 введите формулы, вычисляющие объемы производства на фабриках, в ячейки диапазона B12:F12 объемы доставляемой продукции в пункты распределения. А именно:

Рис. 8.1 - Исходные данные транспортной задачи и заполненное диалоговое окно Поиск решения.

Ячейка Формула Ячейка Формула

G8 = СУММ (B8 : F8) B12 = СУММ (B8 : B11)

G9 = СУММ (B9 : F9) C12 = СУММ (C8 : C11)

G10 = СУММ (B10 : F10) D12 = СУММ (D8 : D11)

G11 = СУММ (B11 : F11) E12 = СУММ (E8 : E11)

F12 = СУММ (F8 : F11)

7. Выберите команду Сервис | Поиск решения и заполните диалоговое окно Поиск решения, как показано на рис. 8.1. Окно Поиск решения имеет элементы, перечисленные в табл. 8.1.

Примечание: Поиск решения является одной из надстроек (add-ins) MS Excel. Если в меню Сервис отсутствует команда Поиск решения, для ее установки необходимо выбрать команду Сервис / Надстройки. На экране отобразится диалоговое ок­но Надстройки. В списке Список надстроек выберите Поиск решения и на­жмите кнопку ОК. Если в этом списке нет средства Поиск решения, то его надо сначала инсталлировать с диска Microsoft Office. Для этого достаточно повтор­но запустить программу установки Microsoft Office и убедиться, что выбран па­раметр установки надстройки Поиск решения.

Таблица 8.1 - Элементы окна Поиск решения

Элемент	Описание
Поле Установить целевую ячейку	Приводится ссылка на ячейку с функцией, максимум, минимум или значением которой Поиск решения будет искать, изменяя значения параметров так, чтобы они удовлетворяли налагаемым на них ограничениям. В примере с задачей о красках в поле Установить целевую ячейку вводим B16
Группа Равной	Тип взаимосвязи между решением и целевой ячейкой устанав­ливается путем выбора переключателя в группе Равной. Для отыскания максимального значения целевой функции выбира­ется переключатель максимальному значению, минимально­го переключатель минимальному значению. Если отыски­ваются значения переменных, для которых значение функции из целевой ячейки равно установленному в поле группы Равной значению, то выбирается переключатель значению. В транспортной задаче выберите переключатель минимальному значению, т.к находим план перевозок с минимальными расходами.
Поле Изменяя ячейки	Приводится ссылка на диапазон ячеек или группу диапазонов ячеек, отведенных под неизвестные. Значения в этих ячейках должны изменяться в процессе поиска решения задачи, так чтобы найти решение, удовлетворяющее заданным ограничениям. В нашем случае введем в поле Изменяя ячейки диапазон B8:F11.

Список Ограничения

Допускаются ограничения в виде равенств, неравенств, требования того, что неизвестные могут принимать только целые значения, либо только значения 0 или 1. Ограничения добавляются по одному за раз и отображаются в окне Добавление ограничения, вызываемого нажатием кнопки Добавить (рис. 2.2). В поле Ссылка на ячейку введите левую часть ограничений — B8:F11, в поле Ограничение — правую часть, в нашем случае — 0. Раскрывающийся список позволяет задать тип соотношения между левой и правой частями ограничения. В нашем случае выберите соотношение >=. Таким образом, требование не отрицательности переменных задано. Нажмите кнопку Добавить и с помощью окна Добавление ограничения введите вторую группу ограничений, налагаемых на переменные Н8:H11= G8:G11; В13:F13= B12:F12 . Нажмите кнопку ОК для завершения ввода ограничений. На экране опять отобразится окно Поиск решения, но теперь уже заполненное

Рис. 8.2 – Окно Добавление ограничения

8. Нажмите кнопку Параметры. На экране отобразится диалоговое окно Параметры поиска решения (рис. 8.3). В диалоговом окне Параметры по­иска решения можно

изменять условия и варианты поиска решения ис­следуемой задачи, а также загружать и сохранять оптимизируемые моде­ли. Значения и состояния элементов управления, используемые по умол­чанию, подходят для решения большинства задач. Опишем элементы этого окна (табл. 8.2).

Рис. 8.3 – Окно Параметры поиска решения

Таблица 8.2 - Элементы окна Параметры поиска решения

Элемент	Описание
Поле Максимальное время	Служит для ограничения времени, отпускаемого на поиск решения задачи
Поле Предельное число итераций	Служит для ограничения числа промежуточных вычис­лений
Поля Относительная погрешность и Допусти­мое отклонение	Служат для задания точности, с которой отыскивается решение. Рекомендуется после нахождения решения с величинами данных параметров, заданных по умол­чанию, повторить вычисления с большей точностью и меньшим допустимым отклонением и сравнить с пер­воначальным методом. Использование подобной про­верки особенно рекомендуется для задач с целочис­ленными ограничениями на переменные
Флажок Линейная модель	Служит для поиска решения линейной задачи оптими­зации или линейной аппроксимации нелинейной зада­чи. В случае нелинейной задачи этот флажок должен быть сброшен. Для линейной задачи — установлен, т. к. в противном случае возможно получение невер­ного результата
Флажок Показывать результаты итераций	Служит для приостановки поиска решения и просмот­ра результатов отдельных итераций
Флажок Неотрицательные значения	Позволяет установить нулевую нижнюю границу для тех влияющих ячеек, для которых она не была указа­на в поле Ограничение диалогового окна Добавить ограничение
Флажок Автоматическое масштабирование	Служит для включения автоматической нормализации входных и выходных значений, качественно разли­чающихся по величине. Например, максимизация прибыли в процентах по отношению к вложениям, ис­числяемым в миллионах рублей
Группа Оценки	Служит для выбора метода экстраполяции
Группа Разности	Служит для выбора метода численного дифференци­рования
Группа Метод поиска	Служит для выбора алгоритма оптимизации