Косвенные измерения
Косвенные
измерения позволяют рассчитывать
интересующие нас величины по результатам
прямых измерений. При этом измеряемая
ве-личина
является известной функцией
от величин
,
получаемых из прямых измерений. Результат
косвенного из-мерения
вычисляют, подставляя в формулу для
вычисления
средние значения
:
.
(П.6)
При
косвенных измерениях абсолютная ошибка
величины
опреде-ляется
по формуле
,
(П.7)
где
,
,…,
-
абсолютные ошибки
.
В некоторых случаях формулу (П.7) можно упростить.
1.
Если
,
то относительная ошибка величины
будет в
раз больше относительной ошибки
:
.
(П.8)
2.
Если
или
,
то относительная ошибка величины
может быть рассчитана как
,
(П.9)
где
и
–
относительные ошибки величин
и
.
Совместные измерения. Метод наименьших квадратов
Если
в работе одновременно измеряются
величины
и
и пред-полагается,
что они зависят друг от друга линейно:
,
то
можно вычислить коэффициенты
и
,
при которых сумма квад-ратов отклонений
экспериментальных точек
от прямой линии
будет минимальна (отсюда и название
метода).
Коэффициенты
и
вычисляются следующим образом:
,
(П.10)
.
(П.11)
Здесь угловые скобки означают средние значения.
Абсолютная
ошибка вычисления коэффициента
:
,
(П.12)
где
.
(П.13)
Аналогично
вычисляется абсолютная ошибка вычисления
коэффи-циента
:
,
(П.14)
где
.
(П.15)
Здесь
–
число экспериментальных точек.
Запись результатов
Представив результат в виде (П.1), не забудьте округлить его до нужной точности, т.е. до старшей значащей цифры в величине абсолют-ной ошибки.
Например,
запись
неверна, надо округлить до сотых:
.
Записи
или
неудобны для чтения; их лучше представить
в виде
и
.
3. Вычисление производной от функции графическим способом
Пример
приближенного расчета производной в
некоторой точке
кривой показан на рис. П.1.
Для
расчета производной берем экспериментальную
точку
,
ближайшую к экспериментальной точке
.
Измеряем катет
и катет
,
затем берем отношение этих катетов
.
Так поступаем для каждой экспериментальной
точки. За-метим,
что в данном примере
,
,
поэтому знак произ-водной
отрицателен. Если надо получить значение
модуля произ-водной,
то берем модуль полученного значения
.
Так получаем значения модуля производной
для каждого измерения, т.е. для каждой
экспериментальной точки главной кривой.
4. Плотность воздуха в зависимости от давления и температуры
-
96
97
98
99
100
101
101,3
102
103
0
2
4
6
8
10
1,224
1,216
1,207
1,198
1,190
1,181
1,237
1,228
1,219
1,211
1,202
1,193
1,250
1,240
1,232
1,223
1,214
1,206
1,263
1,253
1,244
1,236
1,227
1,218
1,275
1,266
1,257
1,248
1,239
1,230
1,288
1,249
1,270
1,260
1,252
1,243
1,293
1,283
1,274
1,265
1,256
1,247
1,301
1,291
1,282
1,273
1,264
1,255
1,314
1,304
1,295
1,285
1,276
1,267
12
14
16
18
20
1,173
1,165
1,157
1,149
1,141
1,185
1,177
1,169
1,161
1,153
1,197
1,189
1,181
1,173
1,165
1,210
1,201
1,193
1,185
1,177
1,222
1,213
1,205
1,200
1,188
1,234
1,225
1,217
1,209
1,200
1,238
1,229
1,221
1,212
1,204
1,246
1,238
1,229
1,221
1,212
1,258
1,250
1,241
1,232
1,224
22
24
26
28
30
32
1,133
1,126
1,118
1,111
1,103
1,096
1,145
1,137
1,130
1,122
1,115
1,107
1,157
1,149
1,141
1,134
1,126
1,119
1,169
1,161
1,153
1,145
1,138
1,130
1,180
1,172
1,165
1,157
1,149
1,142
1,192
1,184
1,176
1,168
1,161
1,153
1,196
1,188
1,180
1,172
1,164
1,157
1,204
1,196
1,188
1,180
1,172
1,165
1,216
1,208
1,200
1,192
1,184
1,176
1 мм. рт.ст = 133,32 Па