Лабораторные работы по физике твёрдого тела

Лабораторная работа №1 определение концентрации и подвижности носителей тока у полупроводников с помощью эффекта холла цель работы

Эффект Холла относится к группе гальваномагнитных явлений и заключается в том, что под действием магнитного поля, перпен-дикулярного к электрическому току, электроны в материале откло-няются перпендикулярно как направлению электрического тока, так и магнитного поля. С помощью эффекта Холла стало возмож-ным понять суть процессов проводимости в полупроводниках и провести грань между полупроводниками и другими типами плохо проводящих материалов. Это обусловлено тем, что измерение ЭДС (разности потенциалов) Холла, возникающей в материале перпен-дикулярно направлению электрического тока и внешнего магнит-ного поля, дает возможность непосредственно определить концен-трацию и знак носителей заряда. Последнее позволяет определить принадлежность материала к тому или иному типу полупровод-ников (p или n–типа). Измерения эффекта Холла дают возможность отделить случай ионной проводимости от случая электронной про-водимости. Наличие эффекта Холла в проводниках и полупрово-дниках свидетельствует об электронном характере проводимости. С помощью эффекта Холла возможно получить данные и о под-вижности носителей заряда (так называемая «холловская» подвиж-ность). Таким образом, эффект Холла – один из наиболее эффек-тивных методов исследования электрических свойств полупровод-никовых материалов.

Целью работы является изучение зависимости ЭДС Холла в по-лупроводниковом образце от величины магнитного поля и опреде-ление концентрации носителей заряда и некоторых других пара-метров.

Основные положения теории

Наблюдение эффекта Холла сводится к измерению поперечной ЭДС, возникающей между узкими сторонами пластинки под дейст-вием магнитного поля. По сути это внешнее напряжение, необ-ходимое для того, чтобы электрический ток был направлен точно по оси, например, вдоль длины образца. Пусть образец имеет форму прямоугольной пластинки длиной , шириной, толщиной(рис. 1).

Если вдоль длины образца (ось ) пропустить электрический ток, вдоль оси приложить магнитное поле , то в направ-лении, перпендикулярном и(ось), возникает электрическое поле, называемое полем Холла с напряженностью .

Рис 1. Ориентация тока, индукции магнитного поля и напряжен-ности холловского поля в полупроводниковой пластине –типа.

На практике, как правило, поле Холла характеризуют разностью потенциалов, которую измеряют между симметричными точками С и D на боковых поверхностях образца.

Эта разность потенциалов называется холловской разностью по-тенциалов или ЭДС Холла. В классической теории проводи-мости эффект Холла объясняется тем, что в магнитном поле на движущиеся электрические заряды действует сила Лоренца, вели-чина и направление которой определяется векторным уравнением:

, (1)

где – индукция магнитного поля,

–дрейфовая скорость движения зарядов,

– заряд носителей тока с учетом знака, «» – для ды-рочной проводимости, «» – для электронной проводимости.

Таким образом, дрейф электронов будет иметь составляющую не только по оси , но и по оси. При этом дрейф электронов вдоль осибудет продолжаться до тех пор, пока возникающее электри-ческое поле не уравновесит силу Лоренца.

Электрическое поле Холла

(2)

связано с холловской разностью потенциалов следующим образом:

(3)

Сила тока, протекающего через единицу поверхности образца, т.е. плотность тока, равна:

, (4)

где – число носителей тока в единице объема образца (кон-центрация носителей тока), то сила тока

, (5)

что позволяет записать:

(6)

и

(7)

Таким образом, ЭДС Холла пропорциональна силе тока через образец и обратно пропорциональна толщине образца.

Экспериментальное определение ЭДС Холла проводят на образ-це с заданной толщиной при фиксированном токе через образец. Формула (7) может быть записана в виде:

, (8)

где коэффициент пропорциональности

(9)

является характеристикой изучаемого вещества и называется коэффициентом Холла или постоянной Холла. Из уравнения (9) видно, что коэффициент Холла обратно пропорционален концен-трации носителей заряда и его знак совпадает со знаком носителя заряда. Измеряя в ходе эксперимента разность потенциалов , индукцию магнитного поля , ток и толщину образца , можно, исходя из формулы (8), вычислить постоянную Холла:

(10)

Рассмотрим далее, как меняется знак в зависимости от зна-ка носителей заряда. На рис.2 проводящая пластина изображена в плоскости листа, магнитное поле направлено к нам, перпенди-кулярно листу, ток течет по стрелке.

а) б)

Рис. 2. а) полупроводник n–типа, б) полупроводник p–типа

Если носители тока – электроны, то направление их дрейфовой скорости будет противоположно направлению тока. При таком нап-равлении скорости в указанном магнитном поле на электрон будет действовать сила Лоренца, направленная вниз. Верхняя грань про-водящей пластины должна заряжаться положительно, а нижняя – отрицательно.

На рис.2б видно, что в случае положительных носителей заряда (при том же направлении тока) меняется направление дрейфовой скорости зарядов, а направление силы Лоренца остается той же, т.е. в этом случае вниз будут отклоняться положительные заряды. Именно это и позволяет экспериментально определить знак носи-телей заряда в проводящей пластине. Направление поля Холла за-висит от знака носителей заряда. В нашем случае в полупро-водниковой пластине -типа поле Холла направлено вверх, а в случае полупроводника-типа – вниз. Таким образом, по знаку холловской разницы потенциалов определяется знак постоянной Холла и, соответственно, знак носителей заряда.

Теперь, исходя из формулы (9), можно вычислить концентрацию носителей заряда в полупроводнике

, (11)

где Кл – заряд электрона.

Рассмотренный эффект Холла, причиной которого является действие силы Лоренца на движущиеся в магнитном поле заряды, называется классическим эффектом Холла.

Мы будем изучать эффект Холла в полупроводниках, поскольку в них эффект Холла имеет в основном классическую природу, и, следовательно, для его описания справедливо выражение (9). Вы-ражение (9) для классической постоянной Холла получено в пред-положении, что все носители тока имеют одинаковую дрейфовую скорость движения , которая не изменяется при движении носи-телей заряда в веществе. В действительности, необходимо учиты-вать механизм рассеяния носителей заряда в твердом теле, что не-избежно приведет к уточнению значения постоянной Холла. В об-щем случае определяется следующим выражением:

, (12)

где –Холл-фактор.

С помощью Холл-фактора учитываются разные механизмы рас-сеяния носителей заряда. При рассеянии на тепловых колебаниях решетки расчет дает значение . Это случай собственных полупроводников и полупроводников, имеющих носители заряда одного знака. В случае вырожденных полупроводников и металлов , а при преимущественном рассеянии на ионах примеси,. Таким образом, в чистых полупроводниках с собст-венной проводимостью преобладает рассеяние на колебаниях ре-шетки (например, в германии и кремнии при высоких и комнатных температурах), а для постоянной Холла получается выражение

(13)

Следует обратить внимание на то, что концентрация носителей заряда (как положительных –, так и отрицательных –) сильно зависит в полупроводниках от температуры. Следовательно, и пос-тоянная Холла также зависит от температуры. В области собствен-ной проводимости уменьшается по модулю с ростом темпера-туры.

При экспериментальном определении следует обратить внимание на то, что наряду с эффектом Холла наблюдаются также некоторые другие эффекты: гальваномагнитный, термомагнитный эффекты и др. Для исключения влияния побочных эффектов ис-пользуют свойство четности этих эффектов, т.е. их независимость от направления магнитного поля. Между тем эффект Холла, явля-ясь нечетным эффектом, меняет свой знак при изменении направ-ления магнитного поля.

Для того чтобы исключить побочные эффекты и определить ис-тинное значение , (для определения концентрации носителей заряда), напряжение между холловскими контактами измеряют при двух направлениях магнитного поля. Действительно, пусть при вы-бранном направлении поля напряжение между холловскими кон-тактами ; при изменении направления поля на про-тивоположное напряжение . Отсюда:

(14)

Таким образом, , обусловленное побочными четными эф-фектами, исключено.

Если наряду с постоянной Холла определить удельное сопро-тивление полупроводника, то можно вычислить еще такую важную характеристику, как подвижность носителей заряда.

Подвижностью носителей заряда называется дрейфовая ско-рость носителей заряда, которую они приобретают в электрическом поле с напряженностью 1 В/м.

Очевидно, что если носители заряда движутся в поле с напря-женностью , то их дрейфовая скорость:

. (15)

Если концентрация носителей заряда – , заряд – , то плот-ность электрического тока через образец равна

. (16)

По закону Ома

, (17)

где – удельная электропроводность вещества (проводимость), которая согласно (16) и (17) выражается через подвижность форму-лой:

, (18)

тогда удельное электрическое сопротивление:

, (19)

откуда:

(20)

С учетом выражения (13) для постоянной Холла (), подвиж-ность носителей заряда выражается следующим образом:

(21)

Подвижность, которая определяется с помощью эффекта Холла, называется «холловской» подвижностью носителей заряда, в отли-чие от дрейфовой подвижности. В области собственной проводи-мости () обычно подвижность электронов () больше подвиж-ности дырок (), поэтому в собственных полупроводниках .

Если же , то и . Это означает, что отклоняе-мые в одну и ту же сторону электроны и дырки не создают поля Холла (их заряды компенсируют друг друга, и поле не возникает). В случае, когда и, знакопределяется знаком но-сителей заряда, которые имеют большую подвижность.

Для определения удельного электрического сопротивления изу-чаемого полупроводника измеряют электрическое сопротивление между двумя контактами (А и В на рис.1), расположенными на длинной поверхности образца на расстоянии . С этой целью про-пускают электрический ток вдоль длины образца и измеряют па-дение напряжения между указанными контактами. Тогда удель-ное сопротивление вычисляется по формуле:

,

где – поперечное сечение образца.