Вариант 4
1.
2.
,
,
3.
,
4.
5.
6.
7.
8.
9.
={11;
5; -3},
={1;
0; 2},
={-1;
0;
1} и
{2;
5; -3}
10. Доказать ,что точки А(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) являются
вершинами прямоугольника. Вычислить длину его диагоналей.
11. Вычислить площадь треугольника ABC, вершины которого лежат в точках
А(2; 3; 4), B(4; 3; 2), и C(1; 1; 1).
12.
При каком
значении
точки А(1; 0; 3), B(-1;
3; 4), C(1;
2; 1), и D(
;
2; 5)
лежат в одной плоскости?
13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых
и
и через точку A(2;
1).
14. Даны координаты вершин тетраэдра А(2; 0; 0), B(5; 3; 0), C(0; 1; 1),
D(-2; -4; 1). Найти двугранный угол между гранями ABC и ABD.
15.
При каком значении
прямые
и
параллельны?
16. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4; 0; -1) и
пересекающей
две данные прямые
и
.
Вариант 5
1.
2.
,
,
3.
,
4.
5.
6.
7.
8.
9.
={13;
2; 7},
={5;
1; 0},
={2;
-1; 3} и
={1;
0; -1}
10.
В прямоугольном треугольнике АВС углы
при вершинах А и С равны
и
,
а длина гипотенузы равна 2. Вычислить
11.
Найти вектор
,
зная, что он перпендикулярен векторам
={0;
-1; 2} и
={1;
3; 3} и удовлетворяет условию
.
12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5),
C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
13. Вычислить координаты вершины ромба, если известны уравнения двух его
сторон: x + 2y = 4 и x + 2y = 10 , и уравнение одной из его диагоналей:
y = x + 2 .
14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 1; 1) и N(-1; 1;-1)
параллельно прямой , определяемой точками А(5; -2; 3) и В(6; 1; 0).
15.
При каком значении D
прямая
проходит через начало
координат?
16. Найти точку , симметричную точке А(3; -1; 4) относительно прямой
.
Вариант 6
1.
2.
,
,
3.
,
4.
5.
6.
7.
8.
9. ={2; 7; 5}, ={1; 0; 1}, ={1; -2; 0} и ={0; 3; 1}
10. Даны точки А(0; -3; 4), В(2; 5; -1) и С(-4; 2; -2). Вычислить скалярное
произведение
векторов
и
11. Найти длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины С на
сторону АВ, если A(2; 3; 4), B(4; 3; 2) и C(1; 1; 1).
12.
Какую тройку (правую или левую) образуют
векторы
,
и
?
13. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана
вершина прямого угла С(3; -1) и уравнение гипотенузы 3x – y + 2 = 0.
14. Составить уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры,
опущенные из точки А(2; 0; 1) на плоскости x – 3y +2z = 0 и 2x – y + 2z = 0.
15. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
М(2; 1; 3), параллельно прямой x = 3+t , y = 3t, z = 2-t.
16. Найти угол между прямой, проходящей через точки А(-1; 0; -5) и В(1; 2; 0),
и плоскостью x – 3y + z + 5 = 0.