2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)=5x²y –8xy+x+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: (5 x²y –8xy+x)+φ′(y)=5x²–8x +φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)–5x²+8x =3. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= =3y. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + =5x²y–8xy+x+3y= С. (5)

Ответ: u(x,y)= 5x²y–8xy+x+3y = С – общее решение.

Пример 2–99: Решить дифференциальное уравнение: dx+ dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =1 и =1 → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)= xy–2 +φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: +φ′(y)= x +φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)–x= –x=– . (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= +С=3 . (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + = xy–2 +3 = С. (5)

Ответ: u(x,y)=x³+3x²y–2xy²–y³= С – общее решение.

Пример 3–101: Решить ДУ: dx+ dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =1+xy и =1+xy → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= + +φ(y)= +xy+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: ( +xy)+φ′(y)= x– +φ′(y)=N(x,y). (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)=N(x,y)–x+ = . (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= +С=– . (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + = +xy– = С. (5)

Ответ: u(x,y)= +xy– = С – общее решение.

Пример 4–103: Решить ДУ: (2x+ )dx+(1– )∙ dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =– ∙ и =– ∙ → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= +φ(y)= + +φ(y)=x²+y +φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: (x²+ y )+φ′(y)= – +φ′(y)=N(x,y). (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)=N(x,y)– (1– )∙ =0. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)=С. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + =x²+y = С. (5)

Ответ: u(x,y)= x²+y = С – общее решение.

Пример 5–105: Решить ДУ: (siny–ysinx+ )dx+(xcosy+cosx– )∙dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =cosy–sinx и = cosy–sinx → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.