11

ДУ. Занятие 4

ЗАНЯТИЕ 4. Уравнения в полных дифференциалах.

Ауд.

Л-3

гл.10: № 96, 98, 100, 102, 104, 149, 154,171,187.

9

☺ ☻ ☺

Пример 1–96: Решить дифференциальное уравнение: (2x+y)dx+(x+2y)dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). Проверим выполнение условия: = . Если условие выполняется, то заданное уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = : u(x,y)= + φ(y), (1)

где φ(y) отражает ту часть функции u(x,y), которая была «уничтожена» при дифференцируемости по переменной х.

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: + φ′(y)= N(x,y). (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)– . (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= . (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + +С. (5)

3). В нашем случае: =1 и =1 → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= + φ(y)=x²+xy+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: ( x²+xy)+φ′(y)= x+φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)–x=(x+2y) –x=2y. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= =y². (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + = x²+xy+ y²= С. (5)

Ответ: u(x,y)= x²+xy+ y²= С – общее решение.

Пример 2–98: Решить дифференциальное уравнение: (3x²+6xy–2y²)dx+(3x²–4xy–3y²)dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =6x–4y и =6x–4y → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)=x³+3x²y–2xy²+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: (x³+3x²y–2xy²)+φ′(y)=3x²–4xy +φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)–x=(3x²–4xy–3y²)–( 3x²–4xy)=–3y². (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= =–y³. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + =x³+3x²y–2xy²–y³= С. (5)

Ответ: u(x,y)=x³+3x²y–2xy²–y³= С – общее решение.

Замечание: 1). Пример интересен тем, что заданное ДУ можно отнести и к однородным уравнениям: функции М(x,y) и N(x,y) – обе однородные, порядка 2. Если «попробовать» решать его по схеме однородного уравнения, то трудоёмкость «процесса» возрастет в разы: f(u)–u= –u= → J= .

2). Ещё бо′льшим будет «интерес», если обратить внимание на «ситуацию» возможного равенства: f(u)–u=0. По основной теореме алгебры мы получим (!) три корня: u=u₁, u=u₂, u=u₃ → получаем дополнительно три решения ДУ:

y= u₁x; y= u₁x; y= u₁x – прямые, проходящие через начало координат.

3). Рассмотренная ситуация подсказывает будущему инженеру: в ответственных случаях желательно получить решение несколькими возможными способами!

Пример 3–100: Решить дифференциальное уравнение: dx– dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: = – и = – → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.