1.4 Свойства операций над множествами.

Пусть задан универсум U. Тогда выполняются следующие свойства:

1. идемпотентность:

2. коммутативность:

3. ассоциативность:

;

4. дистрибутивность:

;

5. поглощение:

;

6. свойства нуля:

6. свойства единицы:

,

8. инволютивность:

Пояснение: В справедливости перечисленных свойств можно убедиться различными способами. Например, нарисовать диаграммы Венна для левой и правой частей равенства и убедиться, что они совпадают, или же провести формальное рассуждение для каждого равенства. Рассмотрим для примера первое равенство: . Возьмем произвольный элемент x, принадлежащий левой части равенства, . По определению операции объединения имеем . В любом случае . Взяв произвольный элемент из множества в левой части равенства, обнаружили, что он принадлежит множеству в правой части. Отсюда по определению включения множеств получаем, что . Пусть теперь . Тогда, очевидно, верно . Отсюда по определению операции объединения имеем . Таким образом, . Следовательно, по определению равенства множеств, . Аналогичные рассуждения нетрудно провести и для остальных равенств.

Тема 2. Булевы функции

2.1 Функции алгебры логики

Функции где , называются функциями алгебры логики, или булевыми функциями, по имени Дж. Буля. Множество булевых функции от n переменных обозначим .

Булеву функцию от n переменных можно задать таблицей истинности:

Таблица истинности

	…,
0	…	0	0
0	…	0	1
0	…	1	0
…	...	…	…
1	…	1	1

Если число переменных n, то в таблице истинности имеется строк, соответствующих всем различным комбинациям значений переменных, которым можно сопоставить различных столбцов, соответствующих различным функциям. Таким образом, число булевых функций от n переменных с ростом n растет весьма быстро:

2.2 Булевы функции одной переменной

Переменная х		0	1
Название	Обозначение
нуль тождественная отрицание единица	0 x 1	0 0 1 1	0 1 0 1

2.3 Булевы функции двух переменных

	Переменная x	0	0	1	1
	Переменная у	0	1	0	1
Название	Обозначение
нуль	0	0	0	0	0
конъюнкция		0	0	0	1
сложение по модулю 2		0	1	1	0
дизъюнкция		0	1	1	1
стрелка Пирса		1	0	0	0
эквивалентность		1	0	0	1
импликация		1	1	0	1
штрих Шеффера	|	1	1	1	0
единица	1	1	1	1	1