§4. Сингулярное разложение матрицы

Пусть А – вещественная матрица. Тогда AA^T, A^TA – симметричные матрицы, а значит они могут быть приведены к диагональному виду.

Обозначим AA^T=UЛU^T, A^TA=VЛV^T,

где U,V – ортогональные матрицы, Л – диагональная.

Лемма Собственные числа матриц AA^T, A^TA равны и неотрицательны.

Доказательство

1. Пусть λ_i – некоторое собственное число матрицы A^TA.

Тогда . Умножим скалярно равенство на xⁱ:

2. Обозначим собственные числа матриц A^TA, AA^T соответственно.

Таким образом матрицы Л для AA^T, A^TA совпадают.

Что и требовалось доказать.

Заметим, что если матрица А невырожденная, то её собственные числа больше нуля.

Обозначим как Тогда:

.

Обратная к матрица имеет вид: .

Обозначим . Тогда:

.

Таким образом, получено: .

Умножим на B^-1 справа: .

Для всякой вещественной матрицы А существует её сингулярное разложение, т.е. представление в виде: A=USW,

где U,W – ортогональные матрицы, S=diag(s₁..s_n), s_i≥0, i=1..n.

Задача: Доказать, что - сингулярное разложение матрицы А.

§5. Сопряженная матрица

Рассмотрим вещественную матрицу A=(a_ij). Тогда сопряженная к ней в пространстве Rⁿ матрица: A*=(a*_ij)=A^T.

В пространстве Rⁿ A – линейный оператор; А* - сопряженный к нему.

Образ Im A – область значений оператора А: Im A= A(Rⁿ).

Ядро ker A – множество элементов, обращаемых оператором А в ноль:

ker A={x | Ax=0}.

Im A, ker A – подпространства пространства Rⁿ.

Задача: доказать указанное выше утверждение.

Лемма .

Доказательство

Im A – подпространство пространства Rⁿ. Обозначим как L его ортогональное дополнение (множество всех элементов из Rⁿ, ортогональных каждому элементу из Im A). Тогда . Докажем, что L=ker A.

Т.е. .

Т.е. .

Что и требовалось доказать.

§6. Частная спектральная задача

Частная спектральная задача – задача нахождения некоторых собственных чисел матрицы и соответствующих собственных векторов.

1.Вариационный метод

Пусть А – симметричная матрица. Найдем её максимальное собственное число. Т.к. из ранее доказанного , то задача сводится к нахождению стационарных точек функционала .

2.Степенной метод

Для матрицы А предположим, что:

а) её собственные вектора φ₁… φ_n образуют базис в Rⁿ.

б) её собственные числа удовлетворяют неравенствам | λ₁ |>| λ_k|, k=2..n.

Тогда всякий вектор х из Rⁿ может быть представим в виде: .

Построим последовательность векторов:

x⁽¹⁾=Ax, x⁽²⁾=Ax⁽¹⁾…x^(m)=Ax^(m-1)=A^mx.

Значит, . Преобразуем правую часть равенства:

при m>>1,

т.к. тогда .

Получим, что:

,

а - соответствующий собственный вектор

(т.к. он определяется с точностью до скалярного множителя).

Знак λ₁ найдем из следующего равенства:

- знак находится по первой компоненте.

Точность метода: .

§7. Метод максимизации столбцов

Пусть A=(a_kp) – вещственная, квадратная матрица порядка n.

Обозначим как a_p – pый столбец матрицы.

Заметим, что ; .

Рассмотрим матрицу простого поворота U_p:

u₁₁ = u_pp= c =cosα, -u_p1 = u_1p= -s = - sinα, остальные диагональные элементы равны 1, а недиагональные – нулю. Из ранее доказанного матрица U_p осуществляет поворот на угол α против часовой стрелки.