Практична робота №1

Моделі цифрових пристроїв. Функційно-логічні моделі.

Мета: Ознайомитись з основними типами функційно-логічних моделей дискретних цифрових пристроїв. Навчитися будувати бінарні дерева рішень та графи переходів-виходів скінчених автоматів.

Теоретичні відомості

Рівні та області моделювання.

При автоматизації проектування та діагностування цифрових пристроїв широко використовуються системи моделювання. Для представлення пристроїв вони потребують відповідних математичних моделей. В процесі проектування цифрових пристроїв слід розрізняти моделі пристроїв та їх специфікації. Специфікації описують пристрій в термінах результатів проектування, що отримуються: схеми, часові діаграми та інше. Моделі використовуються в процедурах проектування пристроїв при моделюванні в даній області, на даному рівні представлення для перевірки відповідності заданим специфікаціям. Вони також використовуються для визначення відповідності між різними рівнями та областями проектування.

Для кожної з областей – фізичної, структурної та поведінкової розрізняють рівні: схемний, логічний, мов регістрового передавання та системний. В поведінковій області надається функційне представлення цифрових пристроїв, в структурній області описуються блоки архітектури цифрового пристрою, фізична область відображає реальний кристал (chip).

В даному випадку розрізняють цифрові пристрої двох класів: комбінаційні та послідовні. Цифровий пристрій називають комбінаційним або пристроєм без пам‘яті, якщо значення його вихідних сигналів однозначно визначається тільки значеннями вхідних сигналів.

Послідовними або цифровими пристроями з пам‘яттю називають пристрої в яких значення вихідних сигналів в даний момент залежить від значень вхідних сигналів в поточний та від внутрішнього стану об‘єкту в попередній момент часу, що визначається значеннями сигналів на лініях зворотних зв‘язків. При побудові моделей цифрових пристроїв розрізняють три підходи: функційний, структурний та представлення цифрового пристрою мовами опису апаратури (hardware design languages – HDL).

Функційні моделі.

Суть функційного підходу полягає в абстрагуванні від внутрішньої організації пристрою та розгляді тільки його логіки функціювання. В таких випадках під цифровими пристроями розуміють пристрої, що обробляють двійкову інформацію.

Моделі послідовних схем.

В якості функційних моделей послідовних пристроїв використовують абстрактний скінчений автомат, що є сукупністю п‘яти об‘єктів:

,

де - скінчені множини станів, вхідних та вихідних сигналів відповідно; - функція переходів, що визначає наступний стан автомата; - функція виходу, що визначає вихідний сигнал.

Як відомо розрізняють два типи автоматів: автомат Мілі та автомат Мура . Такі автомати представляють у табличній формі або у вигляді графу переходів.

Наприклад.

В таблиці 1.1. наведено представлення скінченого автомата Мілі з одним входом - , одним виходом - та чотирма станами. В таблиці на перетині рядка (поточного стану) та стовпця (вхідного сигналу) приведені наступний стан та вихідний сигнал автомата.

Таблиця 1.1. - Табличне представлення скінченого автомата.

	0	1
1	2,1	3,0
2	2,1	4,0
3	1,0	4,0
4	3,1	2,0

Граф переходів та виходів наведеного в таблиці скінченого автомата представлено на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Граф переходів-виходів скінченого автомата (Табл. 1.1)

Слід відзначити, що в цих формах представлення неявно мають на увазі, що функціювання автомата розглядається в дискретному часі, що приймає цілі, невід'ємні значення . Такі автомати називають синхронними.

Асинхронні послідовні схеми не мають входів синхронізації. Їх поведінка також може бути представлена таблицею переходів та виходів. Однак на відміну від попереднього випадку, зміна вхідного сигналу може викликати ланцюжок переходів станів, доки не буде досягнуто стабільного стану.

Наприклад.

В таблиці 1.2. представлений асинхронний скінчений автомат. В таблиці стабільні стани виділені напівжирним шрифтом.

Таблиця 1.2. - Табличне представлення асинхронного скінченого автомата.

	00	01	11	10
1	1,0	5,1	2,0	1,0
2	1,0	2,0	2,0	5,1
3	3,1	2,0	4,0	3,0
4	3,1	5,1	4,0	4,0
5	3,1	5,1	4,0	5,1

Для асинхронних послідовних цифрових пристроїв також використовується канонічна форма представлення рис. 1.2. (модель Хавмена).

Рис. 1.2. Модель Хафмена

Моделі комбінаційних схем.

В якості функційних моделей комбінаційних пристроїв найчастіше використовують систему булевих функцій:

,

де - множина вхідних змінних, - множина вихідних змінних, що можуть приймати значення . Дана система булевих функцій описує комбінаційний цифровий пристрій який має входів та виходів рис. 1.3.

Рис. 1.3. Комбінаційний пристрій

В системі булевих функцій, кожна функція це відображення . Найпростішим способом представлення булевої функції є таблиця істинності.

Наприклад.

В таблиці 1.3. приведено таблицю істинності для булевої функції трьох змінних.

Крім цих таблиць часто використовуються табличні моделі у вигляді "примітивних" (простих) кубів. Ці куби в стисненому вигляді фактично представляють ту ж саму інформацію. Один "примітивний" куб поєднує кілька "сусідніх" рядків таблиці істинності, на яких булева функція приймає одне й те саме значення. Під "сусідніми" тут слід розуміти рядки, що відрізняються значеннями одного (чи більше) біта. На відміну від таблиць істинності такі куби використовують не двійковий алфавіт , а трьохзначний , де - невизначене значення (0 чи 1) відповідної змінної. В таблиці 1.4. приведена таблична модель у вигляді "примітивних" кубів тієї ж функції (табл. 1.3). В таблиці 1.4 перший рядок ("примітивний" куб ) поєднує третій ( ) та сьомий ( ) рядок вихідної таблиці. Слід зазначити, що третій рядок (куб ) поєднує чотири рядки таблиці істинності, що перераховують всі можливі комбінації значень змінних та і одне і те ж значення булевої функції . Фактично, "примітивний" куб відповідає простій імпліканті.

Таблиця 1.3. – Таблиця істинності булевої функції 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0

Таблиця 1.4. – Таблична модель булевої функції з використанням "примітивних" кубів 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1

Альтернативні графи (бінарні дерева рішень)

Бінарні діаграми рішень є ациклічними орієнтованими графами, що забезпечують представлення булевих функцій. Цей тип моделей використовується не тільки для представлення схем, але й для генерації діагностичних тестів для заданої схеми. Множину вершин такого дерева можна розбити на три підмножини: внутрішні вузли (ступінь входу – 1, ступінь виходу – 2), листя (ступінь входу 2, ступінь виходу – 0) та корінь (ступінь входу – 0, ступінь виходу – 2). Логічні значення 0 або 1, що приймає булева функція, відповідають листю діаграми. Внутрішні вершини відповідають змінним булевої функції. Шлях на графі з коріння до одного листа, в залежності від значень булевої функції, визначає її значення.

Наприклад.

На рисунку 1.4 представлено бінарну діаграму рішень для булевої функції .

Рис. 1.4. Бінарна діаграма рішень для функції

Для визначення значення булевої функції за діаграмою починаємо рухатися з Корнєвої вершини вниз до листя дерева. При проходженні кожної внутрішньої вершини, необхідно вирішити – за якою гілкою (лівою чи правою), в залежності від значення змінної, відповідної поточній вершині, необхідно рухатись далі. Значення булевої функції (0 чи 1) визначається останньою вершиною такого шляху – листом дерева. Припустимо, що необхідно обчислити значення даної булевої функції за допомогою бінарної діаграми рішень при умові, що: , , . Починаємо з коріневої вершини, при проходженні вершини обираємо ліву гілку (так як ), далі у вершині також обираємо ліву гілку та потрапляємо до листа дерева, що має значення (в даному випадку функція не залежить від значення змінної ).

Слід відзначити, що іноді листя дерева можуть відповідати не лише константам 0 чи 1, але й змінним. Так для нашого прикладу листом є вершина , оскільки при значення цієї функції визначається цією змінною ( ). Крапка на правій гілці вершини відповідає інверсії кінцевого результату. Наприклад, при , значення функції . Якщо при проходженні по дереву зустрічається кілька інверсій (крапок), то кінцевий результат інвертується у випадку їх непарного числа.

Розглянемо детально процес побудови бінарного дерева рішень (рис. 1.4) для булевої функції .

Незалежно від того, що є вихідною інформацією для побудови функційної моделі у вигляді бінарного дерева рішень (комбінаційна схема (рис. 1.5) або відповідна їй булева функція ), для побудови повного бінарного дерева необхідно перейти до таблиці істинності (таблиця 1.5).

Рис. 1.5. Комбінаційна схема

Кожен шлях від кореня до листя у повному бінарному дереві (рис. 1.6 а) відповідає одному рядку таблиці істинності. Далі ця діаграма спрощується наступним чином. Так як обидві гілки лівої вершини позначені 0, то це означає що функція в даній точці не залежить від значення змінної , тому її можна відкинути, замінивши її листом позначеним як 0. Подальший аналіз показує, що решта вузлів мають гілки, позначені 1 або 0 та 0 або 1. Їх також можна видалити із заміною на листя позначене як або відповідно. Подальший процес спрощення відображено на рис. 1.6 б), 1.6 в) та 1.6 г).

Таблиця 1.5. Таблиця істиності булевої функції.

0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

а)

б)

в)

г)

Рис. 1.6. Бінарні діаграми рішень