Задание 7

1. Функция полезности имеет вид = 4 , а доход, выделенный для покупки данных товаров, равен 64.В оптимальный набор вошли 2 единицы первого товара и 4 единицы второго товара. При каких ценах на товар потребитель сделал этот выбор?

2. Цена единицы готовой продукции предприятия, производство которого моделируется производственной функцией =12 , где количество ресурсов, составляет 10 денежных (д.е.). Цены ресурсов составляют 3 и 2 денежные единицы соответственно. При каких количествах ресурсов прибыль от реализации будет максимальной.

3. Потребитель приобретает 2 товара – чай и сахар (в течение некоторого периода времени). Функция полезности потребителя имеет вид:

- количество пачек чая, - килограмм сахара.

Цены указанных товаров менялись с 24 и 25 руб до 25 и 23 соответственно. Потребитель располагает на покупку товаров суммой 900 руб. Найти объем спроса при старых и новых ценах.

4. Задана линейная производственная функция . Каков экономический смысл коэффициентов E_K, E_L. Построить изокванты и изоклинали этой функции. Какова норма замены труда фондами?

5. Функция валового выпуска Российской Федерации за 1960-1994 гг. имеет вид: . С 1960 по 1994 г. валовой выпуск (в сопоставимых ценах) возрос в 4,08 раза, ОПФ — в 6,62 раза, число занятых — в 1,79 раза. Какая часть роста выпуска объясняется ростом масштаба производства и какая часть — повышением эффективности?

6. Функция полезности потребителя имеет вид: u(х₁,х₂)=3х₁^2/3x₂^1/3. Определить максимальную полезность, если потребитель имеет доход в 100 денежных единиц, а цены единицы товара равны соответственно 5 и 10. Какова норма замены второго товара первым в оптимальной точке?

7. Производственная функция фирмы: x=10х₁^1/3x₂^2/3. Цены покупки ресурсов 5 и 10 ден. ед./ед. соответственно Каков наибольший выпуск при издержках С=100 ден. ед.? Какой смысл имеет множитель Лагранжа?

8. Функция полезности потребителя от приобретения двух товаров имеет вид u(х₁,х₂)=100 х₁ + 120 x₂. Каков уровень полезности при объемах покупок (10, 20). Какова предельная норма замены второго товара первым при снижении потребления второго товара на единицу?

9. Функция полезности потребителя от потребления двух видов продукции равна: u(х₁,х₂)=10 х₁ x₂. Для приобретения товаров выделено 1800 у.е. Цены на товары равны = 90 у.е., = 75 у.е. Решить задачу потребителя.

10. Производственный процесс описывается с помощью производственной функции типа Кобба-Дугласа: f(x, y) = 125 x^0,8y^0,4, где х капитал, y труд. Пусть А способ производства, при котором х = 32, y = 243.Вычислить предельную норму замены капитала трудом при способе А.

11. Производственная функция фирмы имеет вид У=L^3/4*К^1/4. Цена единицы капитала равна 4 д.ед., единицы труда – 12 д.ед. Какое количество капитала и труда необходимо фирме для выпуска 300 ед. продукции?

12. Функция полезности имеет вид = 6 , а доход, выделенный для покупки данных товаров, равен 36.В оптимальный набор вошли 3 единицы первого товара и 2 единицы второго товара. При каких ценах на товар потребитель сделал этот выбор?

13. Цена единицы готовой продукции предприятия, производство которого моделируется производственной функцией = , где количество ресурсов, составляет 5 денежных (д.е.). Цены ресурсов составляют 5 и 3 денежные единицы соответственно. При каких количествах ресурсов прибыль от реализации будет максимальной.

14. Функция полезности имеет вид = 7 , а доход, выделенный для покупки данных товаров, равен 49.В оптимальный набор вошли 3 единицы первого товара и 6 единиц второго товара. При каких ценах на товар потребитель сделал этот выбор?

15. Цена единицы готовой продукции предприятия, производство которого моделируется производственной функцией =6 , где количество ресурсов, составляет 6 денежных (д.е.). Цены ресурсов составляют 4 и 2 денежные единицы соответственно. При каких количествах ресурсов прибыль от реализации будет максимальной.

16. Потребитель приобретает 2 товара – конфеты и сахар (в течение некоторого периода времени). Функция полезности потребителя имеет вид:

- килограмм конфет, - килограмм сахара. Цены указанных товаров менялись с 100 и 25 руб до 110 и 23 соответственно. Потребитель располагает на покупку товаров суммой 1200 руб. Найти объем спроса при старых и новых ценах.

17. Задана производственная функция = 6 . Каков Построить изокванты и изоклинали этой функции. Какова норма замены фондов трудом?

18. Задана производственная функция =12 . Каков Построить изокванты и изоклинали этой функции. Какова норма замены труда фондами?

19. Функция полезности потребителя от потребления двух видов продукции равна: u(х₁,х₂)=10 . Для приобретения товаров выделено 1000 у.е. Цены на товары равны = 50 у.е., = 60 у.е. Решить задачу потребителя.

20. Функция полезности потребителя от потребления двух видов продукции равна: u(х₁,х₂)= Для приобретения товаров выделено 1200 у.е. Цены на товары равны = 20 у.е., = 80 у.е. Решить задачу потребителя.

21. Определить оптимальное распределение ресурсов для функции выпуска , если затраты на факторы линейные и задаются ценами = 1 у.е., = 2 у.е.

22. Производственная функция имеет вид У=L^3/4*К^1/4. Определить масштаб и эффективность производства, если выпуск возрос в 2,5 раза по сравнению с базовым годом, капитал в 1,5 раза, численность занятых в 1,6 раза.

23. Производственная функция имеет вид У= . Определить масштаб и эффективность производства, если выпуск возрос в 2 раза по сравнению с базовым годом, капитал в 3 раза, численность занятых в 2,5 раза.

24. Производственная функция фирмы: x=3х₁^1/4x₂^3/4. Цены покупки ресурсов 3 и 9 ден. ед./ед. соответственно Каков наибольший выпуск при издержках С=150 ден. ед.? Какой смысл имеет множитель Лагранжа?

25. Производственная функция фирмы: x=4х₁^1/5x₂^4/5. Цены покупки ресурсов 6 и 10 ден. ед./ед. соответственно Каков наибольший выпуск при издержках С=90 ден. ед.? Какой смысл имеет множитель Лагранжа?

26. Производственная функция фирмы: x=2х₁ x₂. Цены покупки ресурсов 7 и 14 ден. ед./ед. соответственно Каков наибольший выпуск при издержках С=100 ден. ед.? Какой смысл имеет множитель Лагранжа?

27. Производственная функция фирмы: x=8х₁^1/3x₂^2/3. Цены покупки ресурсов 16 и 24 ден. ед./ед. соответственно Каков наибольший выпуск при издержках С=144 ден. ед.? Какой смысл имеет множитель Лагранжа?

28. Функция полезности потребителя от потребления двух видов продукции равна: u(х₁,х₂)=5 . Для приобретения товаров выделено 810 у.е. Цены на товары равны = 40 у.е., = 50 у.е. Решить задачу потребителя.

29. Функция полезности потребителя от потребления двух видов продукции равна: u(х₁,х₂) = 8 . Для приобретения товаров выделено 120 у.е. Цены на товары равны = 60 у.е., = 80 у.е. Решить задачу потребителя.

30. Функция полезности потребителя от приобретения двух товаров имеет вид u(х₁,х₂)= . Каков уровень полезности при объемах покупок (3,9). Какова предельная норма замены второго товара первым в оптимальной точке?

Задание 8.

Найти частные производные и частные дифференциалы следующих функций

1. z= 2. z=arcsin

3. z=arctg ( 4. z=

5. z= 6. z=tg (

7. z=ctg 8. z=

9. z= 10. z=arcсos (

11. z=arctg(х 12. z=

13. z= 14. z=tg (

15. z=ctg (3х-2у) 16. z=

17. z= 18. z=arcsin (2

19. z=arctg ( 20. z=

21. z= 22. z=arcsin (

23. z= 24. z=

25. z= 26. z=

27. z=log 28. z=

29. z= 30. z=

Задание 9.

Исследовать на экстремум следующие функции

1. -2 -х+14у

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. +2

13. +

14. 

15. 

16. - -у+6х+3

17. +2

18. (12-х-у)

19. +9

20. 

21. +20

22. - -х+6у

23. 

24. 

25. z=

26. 

27. 2у+8

28. 

29. 

30. 2