П.5. Косвенные измерения.

Результат косвенных измерений получается в итоге выполнения некой вычислительной процедуры над данными прямых измерений и погрешность прямых измерений, естественно, оказывает непосредственное влияние на окончательную погрешность косвенных измерений.

Пусть определяемая в процессе косвенных измерений неизвестная ве­личина Z есть функция нескольких (i) величин X _i, значения которых можно получить из опытных данных и значения которых, по сути, являются дейст­вительными значениями соответствующих физических величин.

(1.11)

причем эта функция F непрерывна и дифференцируема (заметим, что в про­тивном случае косвенные измерения не имеют физического смысла). Пусть также систематическая и случайная составляющая погрешности величин X_i равны соответственно _I и :

X_i=_i+_i

и пусть все составляющие этих погрешностей нам известны и их можно считать малыми.

Возможны два подхода к оценке величины результирующей погреш­ности измерений величины Z.

При первом подходе, который наиболее часто используется в обычной практике, оценивается результирующие абсолютная и относительная по­грешности косвенного измерения, но нет возможности разделить их на сис­тематическую и случайную составляющие, оценить их статистические харак­теристики.

Продифференцируем уравнение ( 1.11 ) и получим:

(1.12)

Если от дифференциалов перейти к конечным приращениям, (кото­рыми по физической сущности являются погрешности), то получим выраже­ния для абсолютной и относительной погрешности косвенного измерения, выраженные через соответствующие погрешности прямых измерений:

(1.13)

(1.13а)

где:

Рассмотрим два типичных случая.

а). Пусть . Тогда относительная погрешность _z косвенного измерения величины Z, выраженная через случайные погрешности величин X и Y, согласно формуле ( ) будет равна:

. (1.14)

Отсюда видно, что, при значениях показателей степени n, m > 1 вклад погрешности прямого измерения в результирующую относительную погреш­ность косвенного измерения будет усиливаться пропорционально показателю степени.

б). Пусть . Величина относительной погрешности косвен­ного измерения, полученная из уравнения (..), будет равна:

(1.15)

Следовательно, если измеренные значения величин X, Y, W таковы, что удовлетворяют условию X+YW, то результирующая погрешность кос­венного измерения величины Z, как следует из (1.15), может оказаться весьма велика. Причем даже случае, когда погрешности измерения величин X, Y и W достаточно малы, _X, _Y, _W  0.

Из этих примеров ясно видно, что при выборе метода косвенного изме­рения физической величины надо очень внимательно подходить к анализу физических законов и соответствующих вычислительных процедур, кото­рыми определяется связь этой величины с измеряемыми параметрами.

Существенное замечание относительно прямых измерений.

• На практике в чистом виде этот способ измерений встречаются только в достаточно простых ситуациях, например измерение напряжения в элек­трической сети аттестованным вольтметром. В большинстве случаев ко­нечный результат измерений получается только после неоднократного преобразования измерительного сигнала (в измерительном преобразова­теле, вторичных преобразователях, линиях связи, каждый со своим коэф­фициентом передачи), введения калибровочных коэффициентов, физиче­ских констант, поправочных коэффициентов, в том числе и на изменение параметров окружающей среды, и т.п. Т.е. в результате выполнения опре­деленной вычислительной процедуры, которая, по сути, соответствует косвенным измерениям.

• Погрешность прямых измерений должна определяться с уче­том погрешности всех возможных ее источников, которые рассчитываются так же, как и погрешности косвенных изме­рений.

Более полным и строгим подходом к определению величины случай­ной погрешности косвенных измерений является метод, основанный на пред­ставлении искомой физической величины в виде ряда Тэйлора.

Пусть величина Z является функцией двух величин X и Y, значения ко­торых получены в прямых измерениях. Будем полагать, что величины X и Y есть действительные значения соответствующих физических величин, тогда можно записать:

(1.16)

(1.16а)

Будем полагать величину погрешностей малой по сравнению с дейст­вительными значениями величин и представим результирующую погреш­ность ∆ в виде суммы неисключенного остатка систематической погрешно­сти (НСП) θ и случайной составляющей δ

Разложим функцию F(X,Y) в ряд Тэйлора. Тогда для погрешности косвен­ного измерения нетрудно получим следующее выражение:

(1.17)

Если теперь усреднить левую и правую части этого уравнения и учесть, что средняя величина случайной погрешности стремится к нулю, то для система­тической погрешности косвенного измерения получим:

(1.18)

Из уравнений ( ) и ( ) вытекает несколько следствий.

1. Первое из них заключается в том, что систематическая погрешность косвенных измерений определяется не только величиной НСП прямых изме­рений величин X и Y, но и случайной погрешностью их измерения. Необхо­димость введения поправок в результаты косвенного измерения согласно ( ) может возникнуть даже если при прямых измерениях НСП равна нулю, θ_X = θ_Y =0, но величина случайной погрешности _X и (или) _Y достаточно велика .

2. Если ограничиться в разложении Тэйлора только членами первого порядка, то из сравнения уравнений (1.17 ) и (1.18 ) можно получить выра­жение для случайной составляющей погрешности, по форме аналогичное (1.16 ):

Отсюда нетрудно получить выражение для дисперсии (квадрата сред­неквадратического значения) случайной погрешности косвенного измерения:

(1.19)

где есть корреляционный момент, который служит мерой линейной статистической связи случайных величин X и Y, при этом знак R_XY указывает на характер связи.

Эта статистическая связь определяется характером объекта и методи­кой проведения измерений и может носить самый разнообразный характер. Отличие корреляционного момента от нуля, R_XY ≠ 0, означает, что по каким-то причинам случайные величины X и Y обнаруживают тенденцию к син­хронному изменению под воздействием каких-либо внешних факторов, на­пример, температуры внешней среды.

Их изменение может быть однонаправленным, R_XY >0 – положительная корреляция, которая приведет к увеличению погрешности косвенного изме­рения, или разнонаправленным, R_XY <0 - отрицательная корреляция, следст­вием которой будет уменьшение результирующей погрешности. При R_XY =0 корреляция отсутствует и величины X и Y будут независимы (некоррелиро­ваны).

Из краткого рассмотрения погрешностей многократного измерения вы­текает очень существенное соображение, которое заключается в следующем:

• На практике при оценке погрешности измерений точность ис­пользуемых средств измерения очень часто не играет опреде­ляющей роли. Главное внимание должно уделяться анализу метода измерений и его конкретной реализацией, взаимодей­ствию методов и средств измерения с объектом измерений и окружающей средой.