Лекция 12 Атом водорода в квантовой механике

1. Уравнение Шредингера для атома водорода

Самой простой задачей квантовой механики является задача о движении электрона в кулоновском поле ядра. Это задача об атоме водорода и водорода подобных ионов: однократно ионизированный гелий и однократно ионизированный литий.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром:

,

(1)

где - заряд ядра (для атома водорода ), - расстояние между электроном и ядром.

Графически функция изображена на рис.1. С уменьшением функция убывает (возрастает по модулю).

Рис.1.

Состояние электрон в атоме водорода описывается волновой функцией , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающему выражение (1):

,

(2)

где - масса электрона, а - полная энергия электрона в атоме.

Уравнение (2) имеет решения, удовлетворяющие требования однозначности, конечности и непрерывности волновой функции только при следующих собственных значениях энергии:

, ( 1, 2, 3,…).

(3)

Таким образом, из решения уравнения Шредингера следует, что энергия электрона в атоме квантуется. Формула (3) дает набор дискретных значений энергии, совпадающими со значениями энергии, найденными из спектров. Возможные значения показаны на рис.1. в виде горизонтальных прямых. Самый низкий уровень энергии называется основным, все остальные – возбужденными. При движение электрона является связанным: по мере роста главного квантового числа энергетические уровни располагаются теснее и при . При движение электрона является свободным. Область непрерывного спектра соответствует ионизированному атому. Энергия ионизации атома водорода равна:

= 13,55 эВ

2. Квантовые числа.

Собственные функции , являющиеся решениями уравнения Шредингера зависят от трех квантовых чисел: , и . - главное квантовое число, определяет энергетические уровни электрона в атоме и принимает значения 1, 2, 3,…

- орбитальное квантовое число, оно связано с квантованием момента импульса электрона (механического орбитального момента). То есть орбитальный момент не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой:

(4)

При данном значении - принимает значения

0,1, 2,…, .

Всего значений.

- магнитное квантовое число, связанное с квантованием проекции момента импульса на выбранное направление (обычно в направлении магнитного поля по оси ):

(5)

Магнитное квантовое число может принимать следующие значения:

, , ,…,

Всего значений.

Таким образом, вектор момента импульса электрона может иметь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция на выделенное направление (ось ) принимает квантованные значения согласно формуле (5). Это означает, что в магнитном поле уровень с орбитальным квантовым числом расщепляется на подуровней. Это было в 1896 году экспериментально обнаружено голландским физиком Зееманом.

Из формулы (3) следует, что каждому значению соответствует энергия . Каждой энергии соответствует несколько волновых функций отличающихся значениями и . То есть при одном и том же значении энергии атом водорода может быть в нескольких различных состояниях. Найдем число состояний с одинаковой энергией . Так как при данном орбитальное квантовое число изменяется от до , а каждому соответствует значений , то число различных состояний равно:

(6)

В квантовой механике состояния с различными обозначают буквенными символами как и спектроскопии:

- s-состояние

- p-состояние

- d-состояние

- f-состояние

При записи квантового состояния сначала пишут численное значение , а затем буквенное . Например, состояние и обозначают f.

Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность обнаружения электрона в единице объема. Электрон при своем движении как бы «размазан», образуя электронное облако, плотность которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках атома.

Квантовые числа и характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число - его ориентацию в пространстве. На рис.2. для примера приведено распределение электронной плотности (формы электронного облака) для состояний атома водорода при и . Как видно из рисунка, оно зависит от , и . При электронное облако имеет форму шара, при - форму гантели.

Рис.2.

Радиус шара в 1s состоянии равен радиусу первой орбиты Бора. По теории Бора электрон может находиться только на орбите, в квантовой механике – в любом месте пространства, но с разной плотностью.