Методические материалы, задачи и контрольные вопросы к практическим занятиям по гидравлике

Часть 1 Физические свойства жидкостей

Отличительные свойства жидкостей, газов и твёрдых тел приведены в таблице 1

Таблица 1 – Отличительные свойства твёрдых тел, жидкостей и газов

Свойство	Твёрдое тело	Жидкость (в широком смысле)*
		Капельная жидкость	Газообразная жидкость
Текучесть	Не обладает	Обладает
Форма	Имеет определённую форму	Определённой формы не имеет, принимает форму сосуда, в котором находится
Объём	Сохраняет объём		Объём не сохраняет, стремится занять всё предоставленное пространство
Сжимаемость	Практически несжимаемо	Малосжимаема	Сжимаема
Расстояние между молекулами	Сравнимо с размерами молекул	Несколько больше, чем у твёрдого тела	Многократно превышает размеры молекул
Скорости движения молекул	Малы	Сравнительно малы	Огромны
Взаимодействие между молекулами	Наибольшее	Меньше, чем у твёрдого тела	Наименьшее
* Свойство текучести позволяет объединить жидкость и газ под общим названием жидкости в широком смысле. При этом капельная жидкость – это жидкость в обычном понимании, газообразная жидкость – это газ.

При теоретическом рассмотрении широкого круга физических задач, часто жидкость представляют в виде абсолютно несжимаемой среды, лишённой сил внутреннего трения. Эта воображаемая жидкость, не обладающая вязкостью, носит название идеальной жидкости. Такая идеализация допустима в случаях, в которых вязкостью реальной жидкости¹ можно пренебречь, в частности, она даёт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твёрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой. Математические модели течений идеальной жидкости применяются также при решении ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй и обтекании тел.

Плотность жидкости – это отношение массы жидкости к объёму (как и для твёрдых тел):

(1)

где	ρ	–	плотность жидкости, кг/м3;
	M	–	масса жидкости, кг;
	V	–	объём жидкости, м3.

Плотность воды при различных температурах приведена в таблице 2. Плотности некоторых других жидкостей приведены в таблице 3.

Таблица 2 – Плотность ρ воды при различных температурах t

t, °С	ρ, кг/м3	t, °С	ρ, кг/м3	t, °С	ρ, кг/м3	t, °С	ρ, кг/м3
0	999,87	10	999,73	20	998,23	30	995,61
1	999,93	11	999,63	21	998,02	31	995,21
2	999,97	12	999,52	22	997,80	33	994,36
3	999,99	13	999,40	23	997,57	35	993,50
4	1000,00	14	999,27	24	997,32	40	991,18
5	999,99	15	999,13	25	997,07	50	988,04
6	999,97	16	998,97	26	996,81	60	983,18
7	999,93	17	998,80	27	996,52	70	977,71
8	999,88	18	998,62	28	996,22	80	972,69
9	999,81	19	998,43	29	995,92	90	965,34

Таблица 3 – Плотность ρ некоторых жидкостей при температуре t (значения плотности округлены)

Жидкость	t, °С	ρ, кг/м3	Жидкость	t, °С	ρ, кг/м3
Ацетон	20	792	Молоко	20	1030
Бензин	20	680–720	Морская вода	20	1030
Глицерин	20	1260	Нефть	20	810–850
Керосин	20	820	Ртуть	0	13 596
Кислота азотная	20	1502	Спирт метиловый	20	793
Кислота уксусная	20	1049	Спирт этиловый	20	789
Масло машинное	20	900–920	Эфир	0	736

Удельный вес жидкости – это отношение веса жидкости к её объёму:

(2)

где	γ	–	удельный вес жидкости, Н/м3;
	G	–	вес жидкости, Н;
	V	–	объём жидкости, м3.
	M	–	масса жидкости, кг;
	g	–	ускорение свободного падения, равное 9,81 м/с2;
	ρ	–	плотность жидкости, кг/м3.

Температурное расширение жидкости характеризуется температурным коэффициентом объёмного расширения, выражающим относительное изменение объёма жидкости при изменении температуры на один градус:

(3)

где	βt	–	температурный коэффициент объёмного расширения жидкости, °С-1;
	ΔV	–	приращение начального объёма жидкости, м3, при нагревании жидкости на Δt °С;
	Δt	–	приращение температуры жидкости, °С;
	V1	–	начальный объём жидкости, м3 (до нагревания, при температуре t1);
	V2	–	конечный объём жидкости, м3 (в результате нагревания, при температуре t2);
	t1, t2	–	начальная и конечная температуры, °С.

Для воды справочные значения температурного коэффициента объёмного расширения приведены в таблице 4.

Таблица 4 – Значения температурного коэффициента объёмного расширения воды при различных температурах и давлениях

Давление, Па	βt при температуре, °С
	0–10	10–20	40–50	60–70	90–100
105	0,000014	0,000150	0,000422	0,000556	0,000719
107	0,000043	0,000165	0,000422	0,000548	0,000700

Сжимаемость жидкости характеризуется коэффициентом объёмного сжатия¹, выражающим относительное изменение объёма жидкости при изменении давления на единицу:

(4)

где	βV	–	коэффициент объёмного сжатия жидкости, Па-1;
	ΔV	–	уменьшение начального объёма жидкости, м3, при сжатии жидкости давлением;
	Δp	–	приращение давления, Па;
	V1	–	начальный объём жидкости, м3 (до сжатия, при давлении p1, больший);
	V2	–	конечный объём жидкости, м3 (в результате сжатия, при давлении p2, меньший);
	p1, p2	–	начальное и конечное давления, Па.

Объёмная упругость жидкости является свойством, противоположным сжимаемости и выражается модулем объёмной упругости – величиной, обратной коэффициенту объёмного сжатия:

(5)

где	Eж	–	модуль объёмной упругости жидкости, Па;
	βV	–	коэффициент объёмного сжатия жидкости, Па-1.

Различают адиабатический и изотермический модуль объёмной упругости. Первый несколько больше второго и проявляется при быстротечных процессах сжатия жидкости, например при гидравлическом ударе в трубах. В других случаях в расчёт принимают изотермический модуль объёмной упругости¹. Величина модуля объёмной упругости, как адиабатического, так и изотермического, зависит от температуры и давления. Средние значения изотермического модуля объёмной упругости некоторых жидкостей приведены в таблице 5.

Таблица 5 – Средние значения изотермического модуля объёмной упругости E_ж некоторых жидкостей

Жидкость	Eж, МПа	Жидкость	Eж, МПа
Бензин	1305	Масло индустриальное	1473
Вода	2060	Масло турбинное	1717
Глицерин	4464	Ртуть	32373
Керосин	1275	Силиконовая жидкость	1030
Масло касторовое	1942	Спирт этиловый	1275

Скорость распространения звука в жидкости зависит от модуля объёмной упругости и плотности жидкости:

(6)

где	с	–	скорость распространения звука в жидкости, м/с;
	Eж	–	модуль объёмной упругости жидкости, Па;
	ρ	–	плотность жидкости, кг/м3.

Вязкость жидкости – это свойство жидкости сопротивляться касательным силам, стремящимся сдвинуть одни частицы жидкости по отношению к другим. Вязкость проявляется только при движении реальной жидкости и порождает трение между соседними слоями жидкости (внутреннее трение). Идеальная жидкость, как указывалось выше, вязкостью не обладает. Различают динамическую вязкость μ – силу трения, приходящуюся на единицу площади соприкасающихся слоёв жидкости при градиенте скорости, равном единице, и кинематическую вязкость ν – отношение динамической вязкости к плотности жидкости.

И. Ньютон выдвинул гипотезу о том, что касательное напряжение, вызываемое внутренним трением в жидкости, и градиент скорости в направлении, перпендикулярном направлению сдвига жидкости, линейно зависимы¹:

(7)

откуда

(8)

где	μ	–	днамическая вязкость жидкости, Па·с;
	τ	–	касательное напряжение, вызываемое жидкостью, Па;
		–	производная скорости в направлении, перпендикулярном направлению сдвига жидкости, то есть отношение приращения скорости dυ слоя жидкости к толщине этого слоя dn, с-1.

При этом силу трения T, Н, между слоями жидкости можно найти как произведение касательного напряжения τ, Н/м² и площади взаимодействия слоёв S, м²:

(9)

Жидкость, при движении подчиняющаяся закону вязкого течения Ньютона (6)², называется ньютоновской жидкостью. Если жидкость не подчиняется этому закону, то её называют неньютоновской жидкостью. К неньютоновским жидкостям относятся растворы полимеров, твёрдые суспензии и большинство очень вязких жидкостей.

Кинематическая вязкость жидкости, согласно данному выше определению, рассчитывается по формуле:

(10)

где	ν	–	кинематическая вязкость жидкости, м2/с;
	μ	–	динамическая вязкость жидкости, Па·с;
	ρ	–	плотность жидкости, кг/м3.

Помимо используемых ныне в рамках системы СИ единиц измерения динамической и кинематической вязкости (Па·с и м²/с соответственно), ранее применялись и другие единицы, которые и сегодня встречаются в литературе, преимущественно справочной. Это пуаз (П) – единица измерения динамической вязкости, а также стокс (Ст) – единица измерения кинематической вязкости. Численно 1 П = 0,1 Па·с; 1 Ст = 1 см²/с.

Вязкость жидкости может характеризоваться текучестью: чем подвижнее жидкость, тем меньше её вязкость. По этому принципу работает вискозиметр Энглера (рисунок 1) – прибор для измерения вязкости.

Рисунок 1

В сосуд 5 вискозиметра заливают 200 мл жидкости, для которой нужно определить вязкость. С помощью электрического нагревателя 4 на водяной бане 6 нагревают жидкость до 20 °С, температуру жидкости контролируют по термометрам 1 и 2. Затем, приподняв запорную иглу 3, отсчитывают время истечения исследуемой жидкости из отверстия 8 в ёмкость 7. Отношение времени истечения исследуемой жидкости ко времени истечения такого же количества воды характеризует вязкость жидкости в градусах Энглера E, °Е. Пересчёт из градусов Энглера E в кинематическую вязкость ν, м²/с, осуществляется по эмпирической формуле:

(11)

Вязкость зависит от давления и температуры. Кинематическая вязкость воды в зависимости от температуры t, °С при атмосферном давлении может быть вычислена по формуле

(12)

Капиллярное поднятие или опускание жидкости объясняется силой поверхностного натяжения. Влияние поверхностного натяжения обычно пренебрежимо мало, однако в узких трубках и сосудах не считаться с ним нельзя. Высота капиллярного поднятия жидкости определяется по формуле:

(13)

где	h	–	высота капиллярного поднятия жидкости, м;
	σ	–	коэффициент поверхностного натяжения, Н/м (для воды при 20 °С σ = 0,0726 Н/м);
	ρ	–	плотность жидкости, кг/м3;
	g	–	ускорение свободного падения, равное 9,81 м/с2;
	r	–	радиус капилляра, м.

Значения коэффициента поверхностного натяжения некоторых жидкостей приведены в таблице 6

Таблица 6 – Значения коэффициента поверхностного натяжения σ некоторых жидкостей (приведены с округлением)

Жидкость	Температура t, °С	Коэффициент поверхностного натяжения σ, Н/м
Вода	10	0,0742
	30	0,0712
	40	0,0696
	60	0,0662
Бензин	20	0,0210
Керосин	20	0,0240
Молоко	20	0,0460
Нефть	20	0,0300
Ртуть	20	0,4720
Спирт этиловый	20	0,0220

Помимо рассмотренных, к физическим свойствам жидкости также могут быть отнесены: смазывающая способность, вспениваемость, эмульгируемость и стойкость к воспламенению.

Задачи

1. Резервуар (сосуд) вместимостью V целиком заполнен жидкостью массой М. Определить плотность ρ, удельный вес γ и род жидкости, находящейся в резервуаре (сосуде).

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
V, л	120	30	250	5	10	80	300	150	42	70
M, кг	98,4	31,47	257,5	67,98	7,92	82,4	243	135	28,56	105,14

2. Определить приращение объёма ΔV при нагревании объёма V₁ воды в открытом резервуаре от температуры t₁ до температуры t₂. Температурный коэффициент объёмного расширения воды при этих условиях равен β_t.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
V1, л	8000	15000	10000	25000	37000	64000	50000	87000	13000	41000
t1, °С	10	40	3	90	60	10	40	1	90	60
t2, °С	20	48	10	99	70	15	50	10	100	75
βt, °С-1	0,000150	0,000422	0,000014	0,000719	0,000556	0,000150	0,000422	0,000014	0,000719	0,000556

3. Круглоцилиндрический открытый сосуд диаметром d и высотой H заполнен водой с температурой t₁ до уровня h от дна. Удержится ли вся вода в сосуде, если её нагреть до температуры t₂? Тепловым расширением материала сосуда пренебречь, средние значения температурного коэффициента объёмного расширения воды β_t в диапазоне заданных температур известны.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
d, см	10	45	20	50	25	15	35	55	40	30
Н, см	20	45	25	60	50	35	45	55	60	50
h, см	18	30	24	50	42	20	40	30	54	29
t1, °С	30	10	3	20	15	5	70	20	25	1
t2, °С	50	90	10	80	65	70	95	85	55	100
βt, °С-1	0,000286	0,000372	0,000014	0,000462	0,000376	0,000286	0,000638	0,000462	0,000462	0,000372

4. Какое внешнее давление нужно приложить для уменьшения объёма заданной жидкости на 1 %? Расчётное значение модуля объёмной упругости равно E_ж.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Жидкость	Бензин	Керосин	Масло касторовое	Спирт этиловый	Ртуть	Масло индустриаль-ное	Глицерин	Масло турбинное	Вода	Силиконовая жидкость
Eж, МПа	1305	1275	1942	1275	32373	1473	4464	1717	2060	1030

5. Определить значение кинематической ν и динамической μ вязкости воды при температуре t (плотность воды при этой температуре равна ρ).

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
t, °C	40	4	70	15	60	90	21	34	28	80
ρ, кг/м3	991,18	1000	977,71	999,13	983,18	965,34	998,02	993,94	996,22	972,69

6. На сколько изменится скорость звука в воде при нагревании её от температуры t₁ до температуры t₂? Значения плотности ρ жидкости при этих температурах принять по таблице 2.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
t1, °C	4	5	30	15	10	3	18	6	25	17
t2, °C	40	60	40	70	15	37	25	80	50	90

7. Вязкость жидкости, определённая по вискозиметру Энглера, составляет E. Определить кинематическую вязкость этой жидкости.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
E, °Е	2,1	8,5	1,2	4,3	3,7	6,4	7,7	5,6	2,9	1,5

8. Определить касательное напряжение в слое воды толщиной dn при температуре t (которой соответствует плотность воды ρ) и разности скоростей на границе слоя dυ.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
dn, мм	0,12	0,14	0,16	0,18	0,20	0,24	0,26	0,28	0,30	0,32
dυ, ×10-6 м/с	2,4	2,8	3,2	2,6	4,0	4,8	5,2	5,6	6	6,4
t, °С	40	4	70	15	60	90	21	34	28	80
ρ, кг/м3	991,18	1000	977,71	999,13	983,18	965,34	998,02	993,94	996,22	972,69

9. Определить высоту h капиллярного поднятия жидкости с плотностью ρ и коэффициентом поверхностного натяжения σ в пьезометрической стеклянной трубке диаметром d.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ρ, кг/м3	680	1030	999	840	820	991	135457	983	789	996
σ, Н/м	0,0210	0,0460	0,0742	0,0300	0,0240	0,0696	0,4720	0,0662	0,0220	0,0712
d, мм	7	4	9	8	3	10	6	11	12	5

10*. Определить степень зарастания водовода и среднюю толщину слоя отложений s_отл, равномерно распределённого на его внутренней поверхности (рисунок 2), если при выпуске воды объёмом ΔV = 0,05 м³ давление в водоводе падает на величину Δp = 10⁶ Па. Исходный внутренний диаметр водовода (без отложений) d = 0,3 м, длина водовода ℓ = 2000 м.

Рисунок 2

* Задача повышенной сложности для совместного решения, без разделения на варианты.