- •Средняя и мгновенная скорость материальной точки
- •Вычисление пройденного пути
- •Тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки
- •Основные кинематические характеристики вращательного движения: угловой путь, угловая скорость, угловое ускорение.
- •Первый закон Ньютона. Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта
- •Второй закон Ньютона. Понятие импульса. Механический принцип относительности.
- •Понятие мощности. Единицы измерения мощности.
- •Вычисление работы силы упругости
- •Кинетическая энергия
- •Потенциальная энергия
- •Закон сохранения энергии в механике
- •[Править] Вывод
- •Работа и кинетическая энергия при вращательном движении
- •Работа вращающего момента равна произведению момента на угол поворота.
- •Упругий и неупругий центральный удар шаров.
- •Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.
Средняя и мгновенная скорость материальной точки
Средней скоростью называется физическая величина равная отношению изменения координаты точки к интервалу времени, в течение которого это изменение произошло.
Пусть за интервал времени от t0 до t1 координата точки изменилась от x0 до x1. Если мы вычислим скорость по прежнему правилу
, (1)
то получим величину (она называется средней скоростью), которая описывает быстроту движения «в среднем» - вполне возможно, что за первую половину времени движения точка сместилась на большее расстояние, чем за вторую.
Мгновенной скоростью называется отношение изменения координаты точки к интервалу времени, за которое это изменение произошло, при интервале времени, стремящемся к нулю [1]:
, при Δt → 0 .
Вычисление пройденного пути
Из выражения (3.5) следует, что при малых ∆t
|
|
(4.1) |
Последнее приближенное равенство выполняется тем точнее, чем меньше ∆t. Если известна величина скорости v как функция времени t, можно вычислить путь, пройденный точкой с момента t1 до момента t2. Для этого разобьем промежуток времени t1-t2 на N малых промежутков: ∆t1, ∆t2, …, ∆tN, которые могут быть различными по величине. Весь путь s, пройденный точкой, можно представить как сумму путей: ∆s1, ∆s2, …, ∆sN пройденных за соответствующие промежутки времени ∆t;
[1]
В соответствии с (4.1) каждое из слагаемых ∆sі (і — любое число от 1 до N) может быть приближенно представлено в виде
где ∆tі — промежуток времени, за который был пройден ∆sі, a vi — одно из значений скорости за время ∆tі. Таким образом,
|
|
(4.2) |
Написанное равенство выполняется тем точнее, чем меньше промежутки времени. В пределе при стремлении всех ∆tі к нулю (количество промежутков ∆tі будет при этом неограниченно возрастать) сумма, стоящая справа, станет точно равна s:
|
|
(4.3) |
Скорость есть функция времени: υ=υ(t). В математике выражения вида:
составленное для значений х, заключенных в пределах от а до b, называют определенным интегралом и записывают символически следующим образом;
Следовательно, путь, пройденный точкой за промежуток времени от t1 до t2 равен определенному интегралу
|
|
(4.4) |
Покажем, что величину пройденного пути можно представить как площадь фигуры, которая ограничена кривой зависимости величины скорости v от времени t. Построим график функции v=v(t) (рис. 22). Произведение υі∆tі численно равно площади заштрихованной (і-й) полоски. Сумма таких произведений будет равна площади, ограниченной осью t прямыми t=t1 и t=t2, а также ломаной линией, образованной верхними краями
всех подобных полосок. При стремлении ∆tі к нулю ширина всех полосок убывает (одновременно число их растет) и ломаная линия в пределе сольется с кривой
Рис.22
Таким образом, путь, пройденный за время с момента t1 до момента t2 численно равен площади фигуры, ограниченной графиком υ=υ(t), осью времени t и прямыми t=t1 и t=t2.
Тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки
Тангенциа́льное ускоре́ние — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Совпадает с направлением вектора скорости при ускоренном движении и противоположно направлено при замедленном. Характеризует изменение модуля скорости. Обозначается обычно или ( , итд в соответствии с тем, какая буква выбрана для обозначения ускорения вообще в данном тексте).
Величину тангенциального ускорения - в смысле проекции вектора ускорения на единичный касательный вектор траектории - можно выразить так:
где - путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.
Если использовать для единичного касательного вектора обозначение , то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:
Центростремительное ускорение — часть полного ускорения точки, обусловленного кривизной траектории и скоростью движения по ней материальной точки. Такое ускорение направлено к центру кривизны траектории, чем и обусловлен термин. Формально и по существу термин центростремительное ускорение в целом совпадает с термином нормальное ускорение.
или
где — нормальное (центростремительное) ускорение, — (мгновенная) линейная скорость движения по траектории, — (мгновенная) угловая скорость этого движения относительно центра кривизны траектории, — радиус кривизны траектории в данной точке. (Cвязь между первой формулой и второй очевидна, учитывая ).
Выражения выше включают абсолютные величины. Их легко записать в векторном виде, домножив на — единичный вектор от центра кривизны траектории к данной ее точки:
Эти формулы равно применимы к случаю движения с постоянной (по абсолютной величине) скоростью, так и к произвольному случаю.
Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:
(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).
Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:
= τ + n