1.4. Оптимизация выбора потребителя. Второй закон Госсена

Пусть - набор товаров, заданы вектор цен и доход потребителя .

М ножество всех товаров, суммарная стоимость которых не превышает бюджет потребителя, называется бюджетным множеством: .

Рис. 9

Утверждение 1. Бюджетное множество ограничено и замкнуто.

Множество всех товаров, суммарная стоимость которых равна доходу потребителя, называется границей бюджетного множества: (при границей будет отрезок, при - часть гиперплоскости).

Следует отметить, что зависит от и , но не зависит от системы предпочтений индивида.

Сформулируем задачу потребителя: при сложившихся рыночных ценах на товары , имея определённый доход , потратить деньги с максимальной пользой. Польза понимается в смысле системы его предпочтений или его функции полезности. Это приводит к следующей задаче математического программирования:

<=> . (8)

Поскольку – непрерывная функция, а бюджетное множество – ограничено и замкнуто, то достигает на своего максимума решение задачи потребителя существует.

Утверждение 2. Любая точка максимума (обозначим её ) лежит на границе бюджетного множества .

Доказательство: Допустим обратное: - точка максимума функции полезности , но , т.е. => потребитель имеет неиспользованное количество денег , на которые он может купить дополнительный набор товаров , причём из-за безграничной делимости товаров можно считать, что . Рассмотрим набор товаров , тогда , так как денег истрачено не более .

В силу свойства ненасытности: => => - противоречие с тем, что - точка максимума => .

■

Утверждение 3. Если функция полезности - строго выпукла, то решение задачи потребителя существует и единственно.

Эта единственная точка максимума называется точкой спроса или просто спросом потребителя.

Решим задачу потребителя (задачу оптимизации целевой функции при заданном условии ). Составим функцию Лагранжа: ,

таким образом, исходная задача сводится к задаче нахождения безусловного экстремума. Найдём частные производные и приравняем их к нулю:

.

Итак, точка спроса лежит на границе бюджетного множества и характеризуется тем, что в ней вектор предельных полезностей пропорционален вектору цен (с коэффициентом пропорциональности ). Можно сказать иначе: в точке спроса отношение предельной полезности товара к его цене есть величина постоянная: . (9)

предельная полезность товара,

приходящаяся на одну ден. ед.

Значит, можно интерпретировать как предельную полезность добавочного дохода: - предельная полезность денег.

Если воспользоваться понятием предельной нормы замещения -го товара -ым, то в точке спроса:

(2-ой закон Госсена), (10)

т.е. индивид сумеет достичь оптимальной структуры потребления, если свои личные субъективные предпочтения приведет в соответствие с объективно сложившейся ситуацией на рынке.

Пример 2.4. Пусть функция полезности имеет вид:

. Известны цены на товары и доход: , , . Найдите точку спроса. Как изменится полезность, если цена на первый товар снизится до 10 ден. ед., а на

второй товар – увеличится до 5?

Решение: Сначала найдём точку спроса для первоначальных цен. Для этого воспользуемся вторым законом Госсена: : = .

и => =>

=> и .

Итак, первоначальная точка спроса .

Аналогично находим новую точку спроса, соответствующую изменившимся ценам:

=> => .

Таким образом, потребление первого товара увеличилось на 0,5 ед., а потребление второго товара уменьшилось на 2 ед.

Изменение полезности можно оценить приближенно с помощью дифференциала функции полезности:

.

Более точно определить изменение полезности, можно вычислив приращение функции:

.

■

Функции , ,…, называются функциями спроса Маршалла. Если в функции полезности заменить на , то получим так называемую косвенную функцию полезности: .

Задачу потребителя можно сформулировать иначе: выбрать из одинаково полезных наборов самый дешёвый. Математически это можно записать так:

- задача на нахождение условного экстремума, которая может быть решена аналогично предыдущей с помощью множителей Лагранжа. Её решения:

, ,…, называются функциями спроса Хикса. Для них можно определить минимальный расход на оптимальный потребительский набор:

- функция расходов.

Пример 2.3. Пусть , заданы доход и вектор цен . Найти:

а) функции спроса Маршалла и косвенную функцию полезности;

б) функции спроса Хикса и функцию расходов.

Решение:

а) запишем задачу потребителя при заданных ценах на товары и доходе потребителя: .

Для нахождения условного экстремума запишем функцию Лагранжа:

В точке экстремума должно выполняться условие:

=> => .

Отсюда получим функции спроса Маршалла:

и .

Зная спрос на товары, можно определить соответствующую функцию полезности:

,

которую называют косвенной функцией полезности.

б) В данном случае задача потребителя формулируется так: выбрать из одинаково полезных наборов самый дешёвый. Запишем это математически:

.

Для нахождения условного экстремума запишем функцию Лагранжа:

.

В точке экстремума должно выполняться условие:

=> => .

Отсюда получим функции спроса Хикса:

.

Для них определим минимальный расход на оптимальный потребительский набор:

.

Полученная функция называется функцией расходов.

■

Пример 2.5. Функция полезности имеет вид: ,

где - минимально необходимое количество -го блага, которое

приобретается в любом случае и не является предметом выбора; - характеристика относительной ценности блага для потребителя. Найти функции спроса Маршалла, считая заданными доход и цены .

Решение: Запишем задачу потребителя при заданных ценах на товары и доходе потребителя:

Согласно второму закону Госсена в точке максимума: .

Найдём предельные полезности и приравняем их к отношению цен:

,

.

.

Отсюда ,

теперь просуммируем по :

получим:

.

Таким образом, находим функции спроса Маршалла:

.

■