Разберем самый простой пример.

Среди младших подростков был проведён тест для выявления самооценки. Баллы теста были переведены в три уровня: высокий, средний, низкий. Частоты распределились следующим образом:

Высокий (В)  27 чел.

Средний (С)  12 чел.

Низкий (Н)     11 чел.

Очевидно, что детей с высокой самооценкой большинство, однако это нужно доказать статистически. Для этого используем критерий Хи-квадрат.

Наша задача проверить, отличаются ли полученные эмпирические данные от теоретически равновероятных. Для этого необходимо найти теоретические частоты. В нашем случае, теоретические частоты – это равновероятноые частоты, которые находятся путём сложения всех частот и деления на количество категорий.

В нашем случае: (В + С + Н)/3 = (27+12+11)/3 = 16,6

Формула для расчета критерия хи-квадрат:

Хи-квадрат = ∑(Э - Т)² / Т

 

Строим таблицу:

 

                        Эмпирич. (Э)            Теоретич. (Т)             (Э - Т)² / Т

Высокий        27 чел.                        16,6                            6.41

Средний        12 чел.                        16,6                            1,31

Низкий           11 чел.                        16,6                            1,93

 

Находим сумму последнего столбца:

Хи-квадрат = 9,64

Теперь нужно найти критическое значение критерия по таблице критических значений. Для этого нам понадобится число степеней свободы (df)

df = (R - 1) * (C - 1),  где R – количество строк в таблице, C – количество столбцов.

В нашем случае только один столбец (имеются в виду исходные эмпирические частоты) и три строки (категории), поэтому формула изменяется – исключаем столбцы.

df = (R - 1) = 3-1 = 2

Для вероятности ошибки p≤0,05 и df = 2 критическое значение хи-квадрат = 5,99.

Полученное эмпирическое значение больше критического – различия частот достоверны (хи-квадрат = 9,64; p≤0,05).

Как видим, расчет критерия очень прост и не занимает много времени. Практическая ценность критерия хи-квадрат огромна. Этот метод оказывается наиболее ценным при анализе ответов на вопросы анкет.

 

                              Разберем более сложный пример.

К примеру, психолог хочет узнать, действительно ли то, что учителя более предвзято относятся к мальчикам, чем к девочкам. Т.е. более склонны хвалить девочек. Для этого психологом были проанализированы характеристики учеников, написанные учителями, на предмет частоты встречаемости трех слов: «активный», «старательный», «дисциплинированный», синонимы слов так же подсчитывались. Данные о частоте встречаемости слов были занесены в таблицу:

 

	«Активный»	«Старательный»	«Дисциплинированный»
Мальчики	10	5	6
Девочки	6	12	9

 

Для обработки полученных данных используем критерий хи-квадрат.

 

Для этого построим таблицу распределения эмпирических частот, т.е. тех частот, которые мы наблюдаем:

	«Активный»	«Старательный»	«Дисциплинированный»	Итого:
Мальчики	10	5	6	21
Девочки	6	12	9	27
Итого:	16	17	15	n = 48

 

Теоретически, мы ожидаем, что частоты распределятся равновероятно, т.е.  частота распределится пропорционально между мальчиками и девочками. Построим таблицу теоретических частот. Для этого умножим сумму по строке на сумму по столбцу и разделим получившееся число на общую суму (n).

 

	«Активный»	«Старательный»	«Дисциплинированный»	Итого:
Мальчики	(21 * 16)/48 = 7	(21 * 17)/48 = 7.44	(21 * 15)/48 = 6.56	21
Девочки	(27 * 16)/48 = 9	(27 * 17)/48 = 9.56	(27 * 15)/48 = 8.44	27
Итого:	16	17	15	n = 48

 

Итоговая таблица для вычислений будет выглядеть так:

Категория 1	Категория 2	Эмпирич.	Теоретич.	(Э-Т)2/Т
Мальчики	«Активный»	10	7	1,28
	«Старательный»	5	7,44	0,8
	«Дисциплини-рованный»	6	6,56	0,05
Девочки	«Активный»	6	9	1
	«Старательный»	12	9,56	0,62
	«Дисциплини-рованный»	9	8,44	0,04
				Сумма: 3,79

 

Хи-квадрат = ∑(Э - Т)² / Т

df = (R - 1) * (C - 1),  где R – количество строк в таблице, C – количество столбцов.

В нашем случае хи-квадрат = 4,21; df = 2.

По таблице критических значений критерия находим: при df = 2 и уровне ошибки 0,05 критическое значение χ²  =  5,99.

Полученное значение меньше критического, а значит принимается нулевая гипотеза. Вывод: учителя не придают значение полу ребенка при написании ему характеристики.

17. Побудова емпіричних законів розподілу.