Задачи минимального уровня сложности.
1. Вычисление криволинейных интегралов.
8.1. Вычислить
интеграл
,
где
- контур квадрата
.
8.2. Вычислить
интеграл
,
где
- отрезок прямой, соединяющий точки
и
.
8.3. Вычислить
интеграл
,
где
- контур треугольника
с вершинами
.
8.4. Вычислить
интеграл
,
где
- четверть эллипса
,
лежащая в первом квадранте.
8.5. Вычислить
интеграл
,
где
- окружность
.
8.6. Вычислить
интеграл
,
где
- правый лепесток лемнискаты
.
8.7. Вычислить
интеграл
,
где
- дуга кривой, заданной параметрически
.
2. Вычисление длины кривой.
8.8. Вычислить
длину окружности радиуса
.
8.9. Вычислить
длину кривой
.
8.10. Вычислить
длину кривой
.
8.11. Вычислить
длину кривой
.
8.12. Вычислить
длину кривой
.
3. Вычисление площади боковой поверхности.
8.13. Вычислить
площадь части боковой поверхности
кругового цилиндра
,
ограниченной снизу плоскостью
,
а сверху поверхностью
.
8.14. Вычислить
площадь боковой поверхности параболического
цилиндра
,
ограниченного плоскостями
.
8.15. Вычислить
площадь цилиндрической поверхности,
ограниченной снизу плоскостью
,
сверху поверхностью
,
при условии, что направляющая кривая
- прямолинейный отрезок, соединяющий
точки
и
.
8.16. Вычислить
площадь цилиндрической поверхности,
ограниченной снизу плоскостью
,
сверху поверхностью
,
при условии, что направляющая кривая
- участок параболы
от начала координат до точки
.
8.17. Вычислить
площадь цилиндрической поверхности,
ограниченной снизу плоскостью
,
сверху поверхностью
,
при условии, что направляющая кривая
- дуга параболы
,
лежащая между точками
и
.
4. Вычисление массы материальной кривой.
8.18. Найти массу
дуги параболы
,
заключенной между точками
и
,
если ее линейная плотность равна
.
8.19. Вычислить
массу контура прямоугольника со
сторонами, лежащими на прямых
,
если
.
8.20. Вычислить
массу дуги параболы
,
заключенной между точками
,
если
.
8.21. Вычислить
массу всей цепной линии
,
если ее линейная плотность равна
.
8.22. Найти массу
дуги кривой
,
заключенной между точками
и
,
если ее линейная плотность равна
.
8.23. Найти массу
материальной кривой, заданной уравнением
,
где
,
если линейная плотность ее в каждой
точке пропорциональна квадрату абсциссы.
5. Вычисление координат центра тяжести кривой.
8.24. Вычислить
координаты центра тяжести однородной
материальной кривой
.
8.25. Вычислить
координаты центра тяжести однородной
материальной кривой
.
8.26. Вычислить
координаты центра тяжести однородной
материальной кривой
.
8.27. Вычислить
координаты центра тяжести однородной
материальной кривой
.
8.28. Найти
декартовы координаты центра тяжести
дуги логарифмической спирали
.
8.29. Вычислить
координаты центра тяжести однородной
меньшей дуги окружности
,
соединяющей точки
и
.
8.30. Вычислить
координаты центра тяжести первого
полувитка однородной материальной
винтовой линии
.
6. Вычисление моментов
инерции материальной кривой.
8.31. Вычислить
моменты инерции относительно координатных
осей и начала координат отрезка, концами
которого являются точки
.
8.32. Найти момент инерции относительно оси окружности .
8.33. Вычислить
моменты инерции относительно координатных
осей и начала координат параболы
.
8.34. Вычислить
момент инерции относительно оси
участка синусоиды
,
если ее линейная плотность задана
формулой
.
8.35. Найти моменты
инерции относительно координатных осей
и начала координат четверти однородной
окружности
.