vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

I qp q1 p1 / q0 p0 .

Определение агрегатных индексов используется при контроле за исполнением плановых заданий. Для определения уровня выполнения плана сопоставляется сумма фактической продажи товарной массы в отчётном периоде и величина планового задания в тех же сопоставимых ценах.

Индекс плановой реализации:

I qp q1 p1 / qпл p1 .

Существует связь индексов:

I qp I q * I p .

Значение индекса Iq план: на его основе выявляется влияние отдельных факторов Ip и Iq на изменение товарооборота.

7. Выборочный метод в статистических исследованиях

А) Роль выборки

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных - результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики - указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результата наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики - разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей иследования.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределённости.

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Иногда проводят сплошное обследование, то есть обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не

34

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают его изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Для того, что бы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если её осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Б) Распределение выборочной совокупности.

Наблюдаемые значения хi называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объёму выборки

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

В) Оптимальная численность выборки.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N=1000, а объём выборки n=100.

35

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

8. Проверка гипотез

А) Проверка гипотез и нулевая гипотеза

Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определённый вид (назовём его А), выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. Таким образом, в этой гипотезе идёт речь о виде предполагаемого распределения.

Возможен случай, когда закон распределения известен, а неизвестны его параметры. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр х равен определенному значению х0, выдвигают гипотезу: х=х0. Таким образом, в этой гипотезе речь идёт о предполагаемой величине параметра одного известного распределения.

Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и др.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Например, статистическими являются гипотезы:

1)Генеральная совокупность распределена по закону Пуассона;

2)Дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой. Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей

гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. По этой причине эти гипотезы целесообразно различать.

Нулевой (основной) гипотезой называют выдвинутую гипотезу Н0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1 которая

противоречит нулевой.

Различают гипотезы, которые содержат только одно и более одного предположений.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Б) Уровень значимости. Ошибки проверки гипотезы

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость её проверки. Поскольку проверку производят статистическими методами, её называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, то есть могут быть допущены ошибки двух родов,

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.

36

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Хочется подчеркнуть, что последствия этих ошибок могут оказаться разными. Например, если отвергнуто правильное решение “продолжать строительство жилого дома”, то эта ошибка первого рода повлечет материальный ущерб; если же принято неправильное решение “продолжать строительство”, несмотря на опасность обвала стройки, то эта ошибка второго рода может повлечь гибель людей.

Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать α; её называют уровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста имеется риск допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).

В) Использование t-распределения Стьюдента

Распределение Стъюдента – это частный случай нормального распределения. Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределён нормально, причём среднее квадратическое отклонение неизвестно. Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину (её возможные значения будем обозначать через t)

которая имеет распределение, которое называют t-распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика Госсета), с k = n –1 степенями свободы.

S – «исправленное» среднее квадратическое отклонение, n – объём выборки.

Распределение Стьюдента определяется параметром n – объёмом выборки (или, что то же, числом степеней свободы k = n –1) и не зависит от неизвестных параметров а и ; эта особенность является его большим достоинством.

Замечание. При неограниченном возрастании объёма выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n > 30 можно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением.

Однако важно подчеркнуть, что для малых выборок (n < 30), в особенности для малых значений n, замена распределения нормальным приводит к грубым ошибкам (к повышению точности оценки). Это обстоятельство, вовсе не свидетельствует о слабости метода Стьюдента, а объясняется тем, что малая выборка, разумеется содержит малую информацию об интересующем нас признаке.

37