- •1. Основные положения электростатики
- •2. Скалярный потенциал электростатического поля
- •3. Метод зеркальных изображений
- •3.1. Заряд у металлической плоскости
- •3.2. Заряд в металлическом угле
- •3.3. Заряд у заземлённой металлической сферы
- •1. Пример 1. Система точечных зарядов
- •2. Пример 2. Точечные заряды над металлической
- •3. Пример 3. Точечные заряды в металлическом угле
- •4. Пример 4. Точечные заряды у металлической сферы
- •5. Типовые задания на курсовую работу задание №1
- •Задание №2
- •Задание №3
- •Задание №4
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им.А.Н.ТУПОЛЕВА
Институт радиоэлектроники и телекоммуникаций
Кафедра радиоэлектронных и телекоммуникационных систем
В.Р.Линдваль
Метод зеркальных изображений при решении электростатических задач
Учебное пособие к курсовой работе
по дисциплине
«Электромагнитные поля и волны».
Казань, 2004 г.
Содержание
(страницы могут не совпадать)
|
|
Стр. |
|
Введение …………………………………………………………… |
3 |
1. |
Основные положения электростатики …………………………... |
4 |
2. |
Скалярный потенциал электростатического поля .……………… |
5 |
3. |
Метод зеркальных изображений ………………………………..... |
9 |
3.1. |
Заряд у металлической плоскости…………………………………. |
10 |
3.2. |
Заряд в металлическом угле……………………………………..... |
12 |
3.3. |
Заряд у заземлённой металлической сферы……………………… |
14 |
4. |
Программа POLE и работа с ней .…………………………………. |
16 |
4.1. |
Пример 1. Система точечных зарядов…………………………….. |
17 |
4.2. |
Пример 2. Точечные заряды над металлической плоскостью ….. |
19 |
4.3. |
Пример 3. Точечные заряды в металлическом угле……………… |
20 |
4.4. |
Пример 4. Точечные заряды у металлической сферы………….... |
22 |
5. |
Типовые задания на курсовую работу ……………………………. |
24 |
|
Список литературы ……………………………………………….... |
28 |
Введение
При изучении дисциплины «Специальные разделы физики» и, в особенности, при выполнении курсовой работы по ней, студенты сталкиваются с необходимостью выполнения расчётов электростатических полей системы электрических зарядов в присутствии металлических тел. Имеющийся в литературе [1 – 6] материал на эту тему даёт лишь краткие описания методов решения таких задач и не сопровождается программными средствами их решения. Настоящее пособие должно восполнить этот пробел. Кроме основных теоретических положений электростатики и описания метода зеркальных отображений, оно содержит описание программы POLE и примеры её использования при решении ряда задач.
Пособие предназначено для студентов заочной и очной форм обучения специальностей 201000 «Многоканальные телекоммуникационные системы» и 201200 «Средства связи с подвижными объектами», но может быть использовано студентами других специальностей направлений «Телекоммуникации» и «Радиотехника» при изучении стандартных дисциплин дисциплин «Электромагнитные поля и волны», «Электродинамика и распространение радиоволн».
1. Основные положения электростатики
Статические поля характеризуются постоянством всех величин во времени и отсутствием электрических токов . При этих условиях система уравнений Максвелла разделяется на две полностью независимых системы, одна из которых
, (1)
(2)
описывает электростатическое поле. Здесь - вектор напряжённости электрического поля, - вектор электрической индукции, - объёмная плотность заряда.
При рассмотрении полей в однородных изотропных линейных диэлектриках, в следствие
, (3)
где - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, уравнение (2) принимает вид
. (4)
В случае расчёта поля в вакууме или воздухе . В диэлектрике , где - относительная диэлектрическая проницаемость.
В проводящей среде удельная проводимость . Из дифференциальной формы закона Ома и условия отсутствия электрических токов (плотность тока проводимости ) следует, что внутри проводящей среды электростатическое поле отсутствует. Это значит, что и, в соответствии с (3) . При подстановке последнего в (2) имеем
. (5)
Это означает, что внутри проводника нет зарядов. В условиях электростатики электрические заряды сосредоточены на поверхности проводника, где их распределение характеризуется поверхностной плотностью заряда .
Если незаряженное проводящее тело помещено в электростатическое поле, то под действием сил поля свободные заряды тела начнут перемещаться. Это перемещение зарядов к поверхности завершится тогда, когда поверхностные заряды полностью компенсируют электрическое поле внутри проводника. Наступит электростатическое равновесие, при котором поверхность тела будет границей электростатического поля в диэлектрике, окружающем проводник.
На границе раздела диэлектрик – проводник граничные условия записываются в виде
, (6)
. (7)
Из выражений (6), (7) следует, что на границе вектор ориентирован перпендикулярно поверхности проводника, силовые линии начинаются на положительных поверхностных зарядах и оканчиваются на отрицательных .
2. Скалярный потенциал электростатического поля
Уравнение (1) представляет собой условие потенциальности электростатического поля. Действительно, вследствие тождества , электростатическое векторное поле может быть выражено через скалярную функцию, называемую скалярным электрическим потенциалом
. (8)
Очевидно, что электростатический потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной, так как
. (9)
Подставив (8) в (4), получаем уравнение
, (10)
называемое скалярным уравнением Пуассона.
В тех областях, где нет зарядов , оно переходит в скалярное уравнение Лапласа
. (11)
При распределении заряда с плотностью в области V однородного безграничного диэлектрика потенциал в некоторой точке даёт выражение
, (12)
где вектор задаёт положение точки наблюдения M, вектор задаёт положение точки с зарядом, r – расстояние между этими точками, а интегрирование производится по всем точкам с зарядами (рис.1).
Рис.1. Геометрия задачи
Если размеры объёма V много меньше расстояния от него до точек, где определяется его поле, то его можно считать точечным и имеющим величину заряда
. (13)
Тогда для точечного заряда, помещённого в начало координат О, имеем
, (14)
где r – расстояние от заряда до точки наблюдения. Из (14) следует, что поверхности постоянного потенциала (U=const) будут сферами (r=const).
Применив выражение (8), взятое в сферической системе координат, получаем напряжённость электрического поля
, (15)
где - орт сферической системы координат.
Определим работу А сил поля при переносе пробного заряда q из точки N в точку M (рис.2)
. (16)
Рис.2. К определению работы сил поля
Известно, что , поэтому
. (17)
Если принять , то выражение (17) определит потенциал точки М.
Обычно точку N нулевого потенциала размещают в бесконечности или совмещают с корпусом прибора и землёй.
Электростатический потенциал определяется как работа сил поля по переносу положительного единичного точечного заряда из заданной точки в точку нулевого потенциала (в бесконечность).
. (18)
Если поле создаётся несколькими точечными зарядами (рис.3), то вследствие линейности уравнений (1) и (4) можно использовать принцип суперпозиции, суммирую потенциалы зарядов алгебраически, а их поля электрической напряжённости векторно
Рис.3. Система нескольких точечных зарядов
, (19)
, (20)
где - расстояние от i-го заряда до точки М, - орт этого направления.
Очевидно, что расчёты по выражению (19) существенно проще, чем по (20). Полученное в результате скалярное поле потенциала изображают в виде поверхностей постоянного потенциала. В плоском сечении имеем картину линий равного потенциала U=const.
Для плоской задачи (рис.3)
(21)
Вследствие (8) силовые линии вектора в каждой точке перпендикулярны линиям равного потенциала и направлены в сторону убывания потенциала: от положительных зарядов и отрицательным или земле, от земли к отрицательным зарядам.