5°. Подполугруппа, подгруппа.
Пусть − бинарная алгебраическая операция на .
Определение 11.
Подмножество
называется замкнутым
относительно
,
если
выполняется
Если подмножество
множества
замкнуто относительно
,
то на
определена операция: каждой паре
ставится в соответствие
Определение 12. Такая операция на называется операцией, индуцированной операцией .
Утверждение 3.
Пусть
− полугруппа и
замкнуто относительно
Тогда
является полугруппой относительно
индуцированной операции.
Доказательство.
Для
доказательства
леммы достаточно показать, что операция
ассоциативна на множестве
Это очевидно, так как все элементы
являются элементами
,
а на
введенная операция ассоциативна.■
Определение 13. Пусть − полугруппа. Подмножество , замкнутое относительно , называется подполугруппой.
Пример.
(Z
)
− полугруппа
(и даже группа), а (N
)
− подполугруппа (но не группа).
Определение 14.
Пусть пара
(
)
– группа.
называется подгруппой,
если X
замкнуто относительно
,
и X
− группа относительно индуцированной
операции.
Определение 15.
Пусть тройка (P;+,
)
− кольцо (поле). Подмножество
называется
подкольцом
(подполем),
если Y
замкнуто относительно + и
и Y
является кольцом (полем).
Пример. (Q; +, ) − подполе в поле (R; +, ).
Теорема 5. Пусть
(
)
– группа.
является подгруппой в
1) X замкнуто относительно ;
2) , где − нейтральный элемент в ;
3)
существует
.
Доказательство. Достаточность − очевидна.
Необходимость. Пусть − подгруппа в . Тогда условие 1) выполнено по определению подгруппы.
Проверим условие
2).
Так как
− подгруппа, то
− нейтральный элемент в
.
Докажем, что
,
то есть совпадает с нейтральным элементом
в
.
Действительно, умножим равенство
на
(симметричный элемент к
в смысле
,
то есть
).
С одной стороны имеем:
,
с другой −
.
Отсюда следует, что
.
Осталось проверить
3). Пусть
.
Тогда
,
являющийся симметричным
в
,
то есть
.
Это и означает выполнение условия 3).■
Аналогичные теоремы доказываются для подколец и подполей.
Теорема 6.
Если в группе
взяты
две подгруппы
и
,
то их пересечение
,
то есть совокупность элементов, лежащих
одновременно в обоих множествах, также
будет подгруппой группы
.
Доказательство.
Действительно, если в пересечении
содержатся элементы
и
,
то они лежат в подгруппе
,
а потому в
лежат и произведение
,
и симметричный элемент
.
По тем же соображениям элементы
и
принадлежат подгруппе
,
а потому они входят и в
.■
Интересный пример
подгруппы − циклические подгруппы.
Вначале введем некоторые понятия. Если
− элемент группы
,
то n-ой степенью
элемента
называется произведение n
элементов, равных
.
Отрицательные степени элемента
вводятся как произведения сомножителей,
равных
.
Легко видеть, что
.
Для доказательства достаточно взять
произведение
сомножителей, из которых первые
равны
,
а остальные −
,
и произвести все сокращения. Под нулевой
степенью элемента будем понимать
нейтральный элемент. В силу обобщенной
ассоциативности легко показать, что
Z имеют
место равенства:
|
(3) |
Обозначим
подмножество
группы
,
состоящее из всех степеней элемента
.
Утверждение 4. Множество является подгруппой группы .
Доказательство очевидно.
Определение 16. Подгруппа называется циклической подгруппой группы .
Легко видеть, что
циклическая подгруппа всегда коммутативна,
даже если сама группа
некоммутативна. Если все степени элемента
являются различными элементами, то
называется элементом
бесконечного порядка. Если
существуют
и
из N,
такие, что
,
то
называется элементом конечного порядка.
Легко видеть, что в этом случае
.
Наименьшее
N
такое, что
называется порядком
элемента
.
Определение 17. Группа называется циклической группой, если она состоит из степеней одного из своих элементов , то есть совпадает с одной из своих циклических подгрупп . Элемент в этом случае называется образующим элементом группы .
Примеры.
1) (Z, +) − циклическая группа с образующим элементом 1.
2) Группа корней
n-ой
степени из 1 − циклическая мультипликативная
группа с образующим элементом, получаем
по формуле (11) из § 1
при
.