2°. Группа, свойства группы.

Определение 7. Непустое множество G с заданной алгебраической операцией называется группой, если

1) – ассоциативная операция;

2) в G нейтральный элемент ;

3) симметричный элемент из

Если – коммутативная операция, то группа называется коммутативной или абелевой.

Операция, относительно которой G − группа, называется групповой операцией. Если групповая операция − умножение, то группа называется мультипликативной, если – сложение, то G – аддитивная группа.

Примеры.

1. (N,+) ­– коммутативная полугруппа без нейтрального элемента.

2. (N, ) ­– коммутативная полугруппа с нейтральным элементом.

3. (Z, +) – аддитивная абелева группа.

4. (Q, +) – аддитивная абелева группа.

5. (R, +) – аддитивная абелева группа.

6. (R, ) – абелева полугруппа с нейтральным элементом.

7. (R ) – мультипликативная абелева группа.

8. – абелева группа: .

9. Множество векторов на плоскости или в пространстве относительно операции сложения образуют абелеву группу.

Свойства группы.

1) В группе G нейтральный элемент и симметричный элемент.

Доказательство следует из теорем 1 и 2.

2) Для уравнения имеют единственное решение:

, .

Доказательство. Покажем, что – решение уравнения . Имеем: , то есть − решение.

Если – другое решение, то после умножения слева на – единственное решение. Аналогично для другого уравнения.

3) Закон сокращения в группе. Если .

Доказательство следует из свойства 2).

3°. Кольцо, свойства кольца.

В алгебре изучаются множества и с несколькими, например, с двумя, алгебраическими операциями.

Определение 9. Непустое множество K называется кольцом и обозначается (K ), если выполняются условия:

1) (K, +) – абелева группа;

2) умножение ассоциативно, то есть ;

3) умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть

, .

Кольцо называется коммутативным (понятия абелева кольца нет!), если умножение коммутативно. Если относительно умножения существует нейтральный элемент, то кольцо называется кольцом с единицей.

Примеры колец.

1. (Z; +, ), (Q; +, ), (R; +, ) образуют коммутативные кольца с единицей относительно обычных операций сложения и умножения.

2. Множество {0}, содержащее лишь одно число 0, образует кольцо, называемое нулевым кольцом.

3. Множество непрерывных на отрезке функций с операциями + и , определенными следующим образом:

, ,

образует коммутативное кольцо с единицей.

4. Множество V₃ всех векторов пространства относительно операций сложения векторов и векторного произведения векторов образует кольцо.

5. Рассмотрим пространство битовых строк (последовательностей длины , состоящих из нулей и единиц), относительно операций (исключающее «или») и (логическое умножение), которые задаются таблицами:

	0	1
0	0	0
1	0	1

	0	1
0	0	1
1	1	0

Например, (1010) (0110)=(1100); (1010) (0110)=(0010).

Операции и − алгебраические, нейтральный элемент – нулевая битовая строка (0…0). Для каждой битовой строки противоположным элементом является эта же битовая строка. Доказательство коммутативности, ассоциативности операций и и дистрибутивность логического умножения относительно операции сводятся к доказательству этих свойств для битовых строк длиной 1, которое проводится прямыми вычислениями. Таким образом, пространство битовых строк с операциями , является кольцом, которое обозначается . Это кольцо является коммутативным кольцом с единицей.

Так как ( ;+) абелева группа, то противоположный элемент . Поэтому в К можно ввести операцию вычитания: .В силу свойства группы единственное решение уравнения .

Свойства кольца.

1) Умножение дистрибутивно относительно вычитания, то есть

.

Доказательство.

.

2) .

Доказательство. Так как . Аналогично доказывается, что .

Утверждение, обратное свойству 2), неверно. А именно, существуют кольца, в которых произведение двух ненулевых элементов равно нулю, то есть но . Такие кольца называются кольцами с делителями нуля. Например, множество непрерывных функций – кольцо с делителями нуля. Действительно, если , .

Аналогично, − множество матриц размера − кольцо с делителями нуля.

3) Если − отличный от нуля элемент из , не являющийся делителем нуля, и

(закон сокращения в кольце). Аналогично,

Доказательство.

4)

Доказательство.

4°. Поле, свойства поля.

Пусть P – множество, содержащие не менее двух элементов.

Определение 10. Множество с заданными на нём алгебраическими операциями сложения + и умножения называется полем и обозначается ( ), если:

1) (P;+) – абелева группа;

2) (P\{0}; ) – абелева группа;

3) умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть

Таким образом, поле – это коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей, в котором все ненулевые элементы составляют мультипликативную группу.

Примеры полей.

1. (Q; +, ), (R; +, ), (C; +, ) − примеры полей.

2. ( , , ) − поле.

Свойства поля.

1) В поле Р нет делителей нуля.

Доказательство. Пусть Умножим на : .

С другой стороны,

2) Свойство сокращения на ненулевой элемент: из

3) , уравнение в поле P имеет единственное решение .

Доказательство. При доказываемое свойство – это свойство группы, при − свойство кольца.

Решение уравнения обозначается и называется частным от деления на . Таким образом, в поле определено деление на ненулевой элемент.

Вывод. В произвольном поле можно проводить все операции, как в обычной арифметике: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевой элемент, раскрытие скобок, приведение подобных, … .

Итак, алгебраические структуры – это множества с алгебраическими операциями. Дальнейшее обобщение – алгебраические системы, являющиеся совокупностью множества, алгебраических операций и отношений. Эти системы изучаются на стыке алгебры и математической логики.