- •Раздел 1
- •1. Организационно-методические вопросы
- •Тгка – транспортные грузовые космические аппараты
- •Системность и системный подход
- •Общие положения и понятия
- •Раздел 2
- •2.2. Характеристика жизненного цикла стс
- •2.3. Сущность системного проектирования
- •2.4. Концепция системного проектирования
- •2.5. Главные вопросы системного проектирования
- •Раздел 3
- •3. Космический аппарат как большая техническая система
- •Раздел 4
- •4. Стадия опытной отработки ка как стс
- •Раздел 5
- •5. Примеры систем ка 2 иерархического уровня
- •5.2. Примеры - суд.
- •5.2.2. Принципы функционирования системы управления движением центра масс
- •Раздел 6
- •Вопрос 1. Понятие о моделировании
- •Раздел 7
- •Вопрос 2 Математические модели и их классификация
- •Раздел 8
- •Вопрос 3. Математические модели оптимизации
- •Аналитические модели;
- •Модели поверхности отклика;
- •Имитационные математические модели ( не путать с имитационными моделями).
- •Раздел 9
- •1. Системы энергоснабжения ка
- •2. Основные задачи и этапы разработки эу ка.
Раздел 7
Математическое моделирование, как основной метод исследования энергетических КА на начальном этапе проектирования
Вопрос 2 Математические модели и их классификация
При математическом моделировании исследуются математические зависимости, описывающие явление, взамен изучения и исследования оригинала.
Математическая модель должна строиться для решения конкретной задачи исследования. В зависимости от цели исследования те или иные связи и стороны явления могут оказаться основными или второстепенными.
В математической форме математическая модель может быть пред- ставлена следующим образом:
где F-- выбранный показатель качества системы; - оператор целевой функции; - информация, вводимая в модель, которая не может измениться по воле исследователя; - управляющие параметры, которые выбираются в процессе решения задачи; - оператор ограничений.
Математическая модель реальной системы является абстрактным, формально описанным объектом, изучение которого возможно математическими методами.
Сложность и многообразие процессов функционирования реальных систем не позволяют строить для них абсолютно адекватные математические модели. Формализованная математическая модель отображает лишь наиболее существенные закономерности изучаемого процесса или системы, оставляя в стороне второстепенные задачи.
Сложность реальных систем может сильно затруднить представление цели и ограничений в аналитическом виде. Поэтому очень важно уменьшить «размерность» решаемой задачи таким образом, чтобы обеспечить возможность построения подходящей модели. Несмотря на слишком большое число переменных и ограничений, которые на первый взляд необходимо учитывать при анализе реальных ситуаций, лишь небольшая их часть оказывается существенной для описания поведения исследуемых систем.
Поэтому при упрощенном описании реальных систем, на основе которого будет строиться та или иная модель, прежде всего следует идентифицировать (селектировать) доминирующие переменные, параметры и ограничения.
Изобразим схематические уровни абстракции, соответствующие переходу от системы-оригинала к ее модели.
Рис. 2.3. Уровни абстракции при переходе от системы-оригинала к ее модели
Упрощенный образ реальной системы отличается от системы-оригинала тем, что в нем находят отражение только доминирующие факторы (переменные, ограничения и параметры), определяющие основную линию поведения реальной системы. Модель, будучи дальнейшим упрощением образа системы-оригинала, представляет собой наиболее существенные для описания системы соотношения в виде целевой функции и совокупности ограничений.
Правил, определяющих переход от реальной системы к модели, не существует. Сведение множества факторов, управляющих поведением системы, к относительно небольшому количеству доминирующих факторов и переход от упрощенного образа системы-оригинала к модели - в большей мере искусство, чем наука. Степень адекватности построенной модели реальной системе зависит прежде всего от творческих способностей и интуиции членов исследовательской группы. Ясно, что проявление этих чисто индивидуальных качеств нельзя отразить в рамках формализованных правил построения моделей.
К основным признакам классификации математических моделей следует отнести: 1) форму операторов и ;
2) характер учета времени;
3) наличие или отсутствие случайных факторов;
4) степень адекватности реальной системе;
5) возможности и методы исследования математических моделей;
6) характер этапа жизнедеятельности системы;
7) цель исследования системы.
По форме операторов и математические модели разделяют на:
1) аналитические и статистические;
2) линейные и нелинейные;
3) с ограничениями и без ограничений.
В аналитических моделях показатель качества связывается с величинами и аналитическими зависимостями. В статистических моделях показатель качества можно вычислить только для конкретных значений величин и (их случайных реализаций). Математическое ожидание и в общем случае функция распределения показателя качества вычисляются статистической обработкой значений показателя, найденных для ряда случайных реализаций величин и .
Если целевая функция F и ограничения линейны, то есть, если, например, их можно записать в следующем виде
,
где - исходные данные, то модель является линейной.
Если же целевая функция F или ограничения нелинейны относительно
управляющих параметров , то математическая модель относится к классу нелинейных.
В зависимости от наличия или отсутствия ограничений, накладываемых на значения управляющих параметров, математические модели можно разделить на два вида: с ограничениями и без ограничений.
По характеру учета времени математические модели можно разделить на статические, кинематические и динамические.
В статических моделях не учитывается изменение характеристик системы во времени. Статическая модель описывает связь между компонентами состояния или между этими компонентами и другими характеристиками системы в условиях равновесия и других условиях «замораживания» изменения состояния.
Динамической называется модель, в которой в той или иной форме раскрываются причинно-следственные связи, определяющие развивающийся во времени процесс перехода системы из одного состояния в другое.
Кинематической моделью называется модель динамической системы, описывающая изменение состояния как функции времени и не раскрывающая причинно-следственные связи, вызывающие это изменение.
Из перечисленных выше моделей наибольшими потенциальными возможностями адекватного отражения свойств реальных систем обладают динамические модели.
В зависимости от наличия или отсутствия случайных факторов математические модели можно разделить на:
детерминированные;
вероятностные (стохастические); теоретико-игровые.
Детерминированная модель строится в тех случаях, когда исходные факторы ( ), влияющие на принятый показатель качества и определяющие ограничения модели, поддаются точной оценке, а случайные факторы либо отсутствуют, либо ими можно пренебречь.
В стохастических моделях исходная информация ( ) описывается теми или иными характеристиками случайных величин: математическим ожиданием, дисперсией, функцией распределения и др. Построение таких моделей возможно, если имеется достаточный фактический материал для описания вероятностных распределений.
В теоретико-игровых моделях учитываются недостаточность исходной информации и необходимость принимать решения в условиях неопределенности. Исследуются такие модели на базе теории игр. Теоретико-игровой подход по существу состоит в том, что выявляется наименее благоприятное распределение значений неуправляемых переменных и находится оптимальное решение в этих наименее благоприятных условиях.
Как уже упоминалось в предыдущей лекции, по степени соответствия реальной системе математические модели разделяются на изоморфные и гомоморфные.
Математическая модель, которая включает в себя все черты, теоретически присущие данной реальной системе, называется изомофной (структурный, элементный и поведенческий изоморфизм). Достаточно очевидно, что в тех случаях, когда исследуемая система очень сложна, создание изоморфной модели невозможно. Однако, к счастью, для практических целей, в этом нет необходимости. Может случиться, что иногда будет более эффективно рассмотрение некоторых упрощенных вариантов модели реальной системы, чем попытка создания детализированной совершенной модели.
Во многих ситуациях оказывается необходимым и удобным объединить при моделировании связанные переменные в одну, принимать некоторые достаточно широкие и общие предположения, пытаясь получить на модели некоторые общие черты поведения рассматриваемой системы (гомоморфная модель) , а не ее детальное поведение. Все это облегчает создание модели и осмысление полученных результатов.
Один из самых главных вопросов, возникающих при применении неизоморфных моделей, состоит в выборе уровня гомоморфизма, то есть уровня приближения к действительности, при котором еще возможно достижение желаемых результатов.
По возможностям и методам исследования математические модели разделяются на:
модели, исследуемые аналитическими методами;
модели, для исследования которых применяются численные методы;
3) модели, для исследования которых используется метод Монте-Карло (метод статистических испытаний).
По характеру этапа жизнедеятельности системы математические модели могут быть моделями проектирования системы, моделями эксплуатации системы, моделями применения системы по назначению и так далее.
По цели исследования системы математические модели можно разделить на модели 1) анализа процесса функционирования системы и 2) оптимизационные модели.