26.Прямая на плоскости. Различные виды уравнения прямой.

Алгебраическим уравнением 1-го порядка на плоскости называют уравнение виду аx +вy+c=0, где числа а и в одновременно не равны 0.( а²+в²>0) Теорема (об уравнении прямой на плоскости) 1)Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением 1-го порядка. И обратно. 2)Любое уравнение 1-го порядка на плоскости задает прямую. Виды уравнения прямой на плоскости:

1. ах+ву+с=о -общее уравнение прямой

Вектор S- направляющий вектор прямой Вектор n- нормальный вектор прямой Век.n=(а,в)

Век.S=(-в,а) Векторы nS=(а,в)(-в,а)=-ав+ва=0

2. Каноническое уравнение прямой

век.S ||прямой l(эль) век.S=(p;q)

3.Уравнение прямой по 2-ум точкам Берем М(x,y)- произвольная точка прямой. Вектор М0М=(x-x0,y-y0) Вектор M0M1=(x1-x0,y1-y0) век.М0М||век.М0М1

(по критерию коллинеарности векторов)

4.Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

y-y0=((y1-y0)*(x-x0)) / (x1-x0) (y1-y0) / (x1-x0)=k=tg α α – угол между осью Ох и прямой l(эль), называется углом наклона прямой. Число k=tg угла наклона прямой называется угловым коэффициентом прямой. у-у0=к(х-x0)

5. Уравнение прямой по угловому коэффициенту и отрезку, отсекаемому прямой от оси ОУ

Подставим число k и координаты точки в уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту. y-b = k(x-0) y=кх+в

6.Уравнение прямой в отрезках

Прямая проходит через точки (а;0) и (0;в). Составим уравнение прямой, воспользовавшись уравнением прямой по двум точкам (x-x0)/(x1-x0) = (y-y0)/(y1-y0) (x-a)/(0-a) = (y-0)/(b-0) (x-a)/(-a)=y/b ; (x-a)b = -ay bx+ay = ab | :ab x/a + y/в =1

7.Уравнение прямой по точке и нормальному вектору

Век.n=(a;b) Берем М(x;y) – произвольная точка прямой Вектор M0M = (x-x0;y-y0) Вектор М0М перпендикулярен вектору n, следовательно М0М* n=0 (x-x0;y-y0)(a;b)=0 а(х-x0)+в(у-y0)=0

29. Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

, (1)

где  ,  ,   - направляющие косинусы нормали плоскоти, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

30. Общее задание:

Линия задается как пересечение двух поверхностей. Канонические уравнения прямой в пространстве

По двум точкам:

Переход от одного задания к другому: ^

Переход от: 1)общего задания к каноническим уравнениям

Век.n1=(a1,b1,c1)-нормальный вектор плоскости α1 Век.n2=(a2,b2,c2)-нормальный вектор плоскости α2 n1 и n2 перпендикулярны прямой l.Век.S||l, следовательно n1 и n2 перпендикулярны век.S, следовательно в качестве S можно взять n1 x n2.

Найдем точку прямой l. Полагаем z=0, x,y находим из системы.

Обозначим x0,y0 – решение этой системы, следовательно (x0;y0;0) принадлежит l(эль).(потому что при подстановке числе сюда получается верное равенство) 2)Переход от канонического уравнения к общему заданию.

Параметрические уравнения(вытекают из канонических)

l: =t

X,y,z-неизвестные Х0,y0,z0- координаты некоторой точки прямой rt,pt,qt- координаты направляющего вектора Вектор S=(p;q;r)

31. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения, геометрические свойства. 1)Эллипс – множество точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек есть величина постоянная и равная 2а. Фиксированные точки называются фокусами эллипса. Обозначение F1, F2-фокусы эллипса. Каноническое уравнение эллипса: х²/а² + у²/в² = 1.

|F1F2|=2c |F1M|+|F2M|=2a в²=а²-с² геометрические свойства: -если (х0;у0), это точка эллипса,задаваемая каноническим уравнением, то точки (х0;-у0), (-х0;у0) также принадлежат эллипсу;-угол между касательной проведенный к точке и отрезкам соединяющим эту точку с первым фокусом=углу между этой касательной и отрезком соединяющим эту точку со вторым фокусом; -начало координат – это центр симметрии. 2)Гипербола – множество точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек есть величина постоянная и равная 2а. Фиксированные точки называются фокусами гиперболы. Обозначение F1, F2-фокусы гиперболы. х²/а² -у²/в²=1

F1: (-с;0); F2(с;0) в²= с² -а² 3)Парабола- множество точек на плоскости, расстояние от которых до некоторой фиксированной прямой = расстоянию от них до фиксированной точки. Фиксированная прямая- директриса параболы, а фиксированная точка- фокус. Расстояние от фокуса до прямой 2p. y²=2px