20.Скалярное произведение векторов. Свойства.

Скалярное произведение векторов а и в называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается: векторы а и в = вектор/а/ *вектор /в/* cos а^в

Свойства: 1)Комутативность: векторы а*в = векторы в*а. Действительно векторы ав=/век. а/*/век. в/*cos а^в=/век. в/*/век. а/*cos а^в= векторы в*а; 2) векторы а*а = век.а²=/а/²(а скалярно умножается на себя). Следовательно /век. а / = корень(век.а * век. а); 3)Если векторы а и в не=0, то скалярное произвед.их=0,в том и только в том случае, когда угол между век. а и в –прямой, т.е.когда векторы а и в перпендикулярны. Векторы ав=0<=>век.а перпендикулярен век.в. Векторы а и в называются ортогональными, если их скаляр.произвед.=0.; 4)При умножении векторов скобки можно раскрывать (век.а+век.в)*век.с=век.а*век.с+ век.в * век.с; 5)Если произв.вектора на число умнож.на 2-ой вектор, то константу нужно выносить (λ*век.а)*век.в = λ ( век.а * век.в) = λ*век.а*век.в ; 6) век-ры ав=/век.a/*pr вектора а*век.в=/век.в/*pr вектора в *век.а

21.Векторное произведение векторов. Свойства. 22.Смешанное произведение векторов. Свойства. Векторным произведением векторов а и в называется вектор с, такой что: 1) его длина считается как длина вектора а на длину вектора в и на sin угла между ними./век.с/=/век.а/*/век.в/*sin а^в; 2) век.с перпендикулярен век.а,век.с перпендикулярен век.в; 3) век-ры а,в,с-правая тройка(тройка векторов а,в и с называется правой, если поворот от век.а к век.в виден с конца вектора с против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой). Обозначение: век.с = век.а х век.в «векторное произведение век-ров а и в» Замечание: длина векторного произведения ахв равна площади параллелограмма, построенного по векторам а и в. Свойства векторного произведения: (над а, в, с ставить вектор) 1) Если а||в, то а х в=0; 2) в х а = - а х в; (антикоммутативный закон) 3) (α а)х в = а х (α в)= α а х в; 4) (а+ в)х с= а х с+ в хс; а х (в+ с)= а х в + а х с( закон дистрибутивности векторного умножения относительно сложения) Смешанное произведение векторов а,в,с называется векторное произведение а и в скалярно умноженное на век.с. Обозначение : век-ры а,в,с=(век.а х век.в)век.с. Свойства векторного и смешанного произведений векторов: Смешанное произведение векторов а,в,с равно объёму параллелепипеда, построенного по векторам а,в,с, взятому со знаком «+», если векторы а,в,с –правая тройка векторов и со знаком «-» если векторы а,в,с - левая тройка векторов; Vпар-да =| век.а*век.в*век.с|

23. Декартовая система координат на плоскости и в пространстве. Система координат называется декартовой, если длины ее базисных векторов =1. Декартова прямоугольная система координат на плоскости определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке (из учебника). Координатные оси Ох, Оу с выбранной единицей масштаба называются декартовой прямоугольной (или прямоугольной) системой координат на плоскости.(с инета)

Система координат называется прямоугольной(декартовой), если углы между базисными векторами прямые. Декартовы координаты в пространстве задаются с помощью точки начала координат и трёх взаимно-перпендикулярных направленных прямых. Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат

32.Если две прямые лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают. Как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями? Если прямые пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы . Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых, надо решить систему уравнений : 1) если система имеет единственное решение, то прямые пересекаются; 2) если система не имеет решения, то прямые параллельны; 3) если система имеет множество решений, то прямые совпадают.