13. Типы деформаций

Установив общий план решения задач сопротивления материа­лов, мы можем теперь перейти к отдельным видам этих задач. Их можно разбить на несколько групп в зависимости от типа деформаций.

Основными типами деформаций являются (рис. 2):

1) Растяжение или сжатие (а и б); примеры—работа цепей, канатов, тросов, растянутых и сжатых стержней в фермах, колонн;

2) перерезывание (в) — работа болтов, закле­пок;

3) кручение — работа валов (г);

4) изгиб — работа всякого рода балок (д).

Эти четыре типа деформаций называются простыми.

В конструкциях встречается и более сложная работа элементов, когда они испытывают два и более типов деформаций одновременно, например, растяжение или сжатие с изгибом, изгиб с кручением и т. д.; в этих случаях мы имеем дело с так называемой сложной деформацией. Для каждого из этих видов деформаций мы установим способы для вычисления напряжений, подбора материала и поперечных размеров элементов конструкции, а также способы для вычисления деформаций.

Для простоты мы будем сначала рассматривать лишь те элементы сооружений и машин, которые представляют собой так называемые призматические стержни с прямой осью. Таким стержнем мы будем называть тело, все поперечные сечения которого одинаковы; центры тяжести этих сечений лежат на одной прямой, называемой осью стержня. В дальнейшем мы рассмотрим стержни и с переменным сечением и с криволинейной осью.

Напряжения и деформации при растяжении и сжатии в пределах упругости. Подбор сечений

1. Вычисление напряжений по площадкам, перпендикулярным к оси стержня

Решение основной задачи сопротивления материалов мы начнем с простейшего случая растяжения или сжатия призматического стержня.

Центральным растяжением или сжатием этого стержня называется деформация его под действием двух равных и прямо противоположных сил, приложенных к концевым сечениям и направленных по оси стержня. Если эти силы направлены наружу от концевых се­чений, то мы имеем растяжение (рис. 3, а), в противном случае — сжатие (рис. 3, б).

Рис. 3.

По общему плану решения всякой задачи сопротивления материалов мы прежде всего должны найти величину этих внешних сил Р, растягивающих (сжимающих) стержень. Величина сил Р обычно может быть определена из условий взаимодействия рассматриваемого стержня с остальными частями конструкции.

В качестве простейшего примера рассмотрим стальную стяжку круглого поперечного сечения, имеющую на концах винтовую нарезку, нагруженную растягивающими

Рис.4.

силами Р=25 Т, действующими вдоль ее оси (рис. 4). Нашей задачей будет подобрать поперечные размеры стяжки таким образом, чтобы ее прочность была обеспечена. Необходимо найти вызванные силами Р напряжения, установить для них допускаемую величину и выбрать так размеры поперечного сечения стержня, чтобы действительные напряжения не превосходили допускаемых.

Для вычисления напряжений необходимо выбрать те разрезы, которыми мы будем разделять стержень на две части. Для проверки прочности следует отыскать опасное сечение, т.е. то, через которое передается наибольшее напряжение. Мы установим формулы для вычисления напряжений сначала по сечениям, перпендикулярным к оси стержня, а в дальнейшем и по наклонным сечениям; таким путем мы сумеем отыскать наиболее опасное сечение.

Возьмем растянутый стержень и разделим его на две части поперечным сечением тп (рис. 5), перпендикулярным к оси стержня. Отбросим вторую часть; тогда, чтобы равновесие первой не было нарушено, мы должны заменить действие отброшенной части силами, передающимися на оставшуюся часть через сечение тп (рис. 6). Заменяющие силы будут уравновешивать внешнюю силу Р, поэтому они должны сложиться в равнодействующую N, равную Р, направленную по оси стержня в сторону, противоположную внешней силе (рис. 6). Эта равнодействующая N будет усилием, действующим в стержне.

Рис. 5. Рис. 6.

В дальнейшем мы будем называть нормальным или продольным усилием равнодействующую внутренних сил упругости, передающихся через мысленный разрез от одной части стержня к другой. Но так как отрезанная часть стержня должна находиться в равновесии под воздействием продольного усилия и внешних сил, приложенных к рассматриваемой части, то это усилие может быть вычислено и через внешние силы. Оно численно будет равно равнодействующей внешних сил, приложенных к рассматриваемой части стержня, и на­правлено в сторону, противоположную этой равнодействующей. Если усилие направлено внутрь рассматриваемой части, то стержень сжат, если в противоположную сторону, то растянут.

Следовательно, условия равновесия оставшейся части дают нам лишь величину равнодействующей внутренних сил, передающихся по сечению тп, ее направление и точку приложения, но не могут указать, как распределяются напряжения по сечению, т. е. какие силы будут передаваться через различные части этого сечения. Между тем для оценки опасности, угрожающей прочности материала, необходимо найти наибольшее напряжение, отыскать ту часть сече­ния, через которую передается наибольшая сила.

Опыты с растяжением стержней из различных материалов пока­зывают, что если растягивающие силы достаточно точно совпадают с осью стержня, то удлинения прямых линий, проведенных на поверхности стержня параллельно его оси, будут одинаковы. Отсюда возникает предположение о равномерном распределении напряжений по сечению. Лишь у концов стержня, там, где происходит непосредственная передача сил Р на стержень, растяжение распределяется неравномерно между отдельными участками сечения: те участки,, к которым непосредственно приложена сила Р, перегружаются, но уже на небольшом расстоянии от концов работа материала выравнивается, и наступает равномерное распределение напряжений по сечению, перпендикулярному к оси. Эти напряжения направлены параллельно силе Р, т. е. нормально к сечению; поэтому их называют нормальными напряжениями и обозначают буквой σ. Так как они распределены равномерно по сечению, то N= σ·F; с другой стороны, N=P; отсюда получаем

Эта формула позволяет нам вычислить напряжение σ, если известны растягивающая сила и размеры сечения стержня. С другой стороны, если мы зададимся допустимой величиной нормального напряжения, из этой же формулы можно будет найти необходимую площадь поперечного сечения F.