Дерево поиска частичных решений

Прохождение в глубину, которое используется для поиска с возвращением, показано стрелками.

В методе ветвей и границ стоимость должна быть четко определена для частичных решений; кроме того, для всех частичных решений (а₁, а₂, … , ) и для всех расширений (а₁, а₂, …, ).

Должно выполняться следующее соотношение для стоимостей

Когда стоимость обладает этим свойством, можно отбросить частичное решение , если его стоимость больше или равна стоимости ранее вычисленных решений. Это ограничение легко включается в общий алгоритм поиска с возвращением.

Функция стоимости неотрицательная и даже удовлетворяет более сильному требованию:

,

где , для всех a_k .

В более конкретизированном виде метод ветвей и границ выглядит следующим образом.

Пусть Х – множество вариантов решения некоторой задачи. Если эти варианты пронумеровать от 1 до п, то под множеством Х можно понимать множество номеров вариантов решения, т.е.

Пусть множество - множество параметров, характеризующих решение каждого варианта, Тогда оптимальным решением будет значение

,

являющееся минимальным значением из множества значений , т.е. являющееся точной нижней границей этого множества.

Под оценкой снизу для множества Х понимают значение , которое удовлетворяет соотношению

или .

Если выполняется , то оценку называют достижимой.

Метод ветвей и границ состоит в последовательном улучшении оценки и приближении ее к значению , т.е. оценка возрастает до .

Пусть можно получить оценку снизу как для множества Х , так и для его подмножеств. Разобьем множество Х на два подмножества А и В с точными нижними границами критерия качества и , связанными с соотношением

.

Так как в множествах А и В элементов меньше, чем в Х , то имеется возможность получить оценки более близкие к значениям , , чем в первоначальном множестве Х , что означает, что оценка будет более близка к , чем оценка .

Имеется также большая вероятность того, что оптимальный вариант окажется в том из подмножеств А и В , которое имеет меньшую оценку снизу. Эта вероятность будет тем больше, чем больше отличаются друг от друга оценки и . Поэтому разбивать множество Х на подмножества А и В желательно так, чтобы оценки снизу для этих подмножеств отличались возможно больше.

Геометрически метод ветвей и границ показывается в виде дерева.

Е сли оказалось, что , то есть основания полагать, что оптимальный вариант входит в множество А и это множество надо исследовать детальней. Для этого его разбивают на два подмножества С и D так, чтобы оценки и различались возможно больше. Если оказалось, что , то разбиваем множество С на два и т.д. Процедуру продолжаем до тех пор, пока не придем к подмножеству, состоящему всего из одного элемента со значением параметра р = р₀ = .

Однако найденный элемент р = р₀ не всегда может быть оптимальным. Необходимо рассмотреть множества В , D и т.д. Может среди них найдется элемент p < p₀ . Эта проверка или даст элемент p < p₀ или подтвердит, что оптимальным является элемент р = р₀ .

Для каждой задачи, которая решается методом ветвей и границ , имеются свои особенности. Рассмотрим метод ветвей и границ применительно для решения задачи коммивояжера.

Пример. Коммивояжер должен посетить п городов и вернуться в исходный пункт с наименьшими затратами на переезды. При переезде из города I в город j он терпит убыток с_ij . Матрица размера описывает стоимости перемещения. Нельзя посещать один и тот же город дважды. Определить маршрут с минимальной стоимостью.

□ Проиллюстрируем решение задачи следующим примером. Матрица С размера определяет стоимости переездов

i\ j	1	2	3	4	5
1		25	40	31	27
2	5		17	30	25
3	19	15		6	1
4	9	50	24		6
5	22	8	7	10

Метод использует тот факт, что если из любой строки или любого столбца матрицы стоимостей вычитать постоянную величину, то оптимальное решение (маршрут) не меняется. Стоимость оптимального решения отличается при этом в точности на число, которое вычитается из строки или столбца. Поэтому, если производить вычитание такое, что каждый столбец и каждая строка будут содержать ноль и все стоимости , то общее вычитаемое будет нижней границей стоимости любого решения. Другими словами необходимо совершить операцию приведения матрицы стоимости по строкам и столбцам.

1. Из каждой строки матрицы стоимостей вычитаем минимальный элемент

i\ j	1	2	3	4	5
1		0	15	6	2	25
2	0		12	25	20	5
3	18	14		5	0	1
4	3	44	18		0	6
5	15	1	0	3		7

2. Вычитаем минимальные элементы из тех столбцов,в которых нет 0:

i\ j	1	2	3	4	5
1		0	15	3	2
2	0		12	22	20
3	18	14		2	0
4	3	44	18		0
5	15	1	0	0
				3

3. Пусть Х – множество всех маршрутов. Суммируем все минимальные числа и принимаем это значение в качестве нижней

границы (Н.Г.) (оценка снизу) стоимости всех решений (маршрутов) Х

Н.Г. = ( 25 + 5 + 1 + 6 + 7) + 3 = 47.

Это число означает, что стоимость полного маршрута не может быть меньше 47 денежных единиц.

4. В последней матрице для каждой клетки ( I, j ), в которой , находим число, которое определяется путем сложения наименьших чисел i-ой строки и j-ого столбца. Сама клетка ( I, j ) в этих подсчетах не участвует. Найденные значения устанавливаем в виде верхних индексов у нулей:

i\ j	1	2	3	4	5
1			15	3	2
2			12	22	20
3	18	14		2
4	3	44	18
5	15	1

Выбираем наибольшее значение индекса. Другими словами, выбираем ноль, который соответствует переезду , т.к. он имеет наибольший индекс, равный 15. Тем самым разбиваем множество всех маршрутов на два подмножества: где разрешается переезд и где не разрешается этот переезд : 2 1. Таким образом, увеличиваем Н.Г. подмножества с 2 1 в правом поддереве на 15:

Н.Г.= 47 + 15 = 62.

Вычеркиваем 2-ую строку и 1-ый столбец в последней матрице стоимостей. Тем самым понижаем порядок матрицы на единицу. Поскольку мы переехали из города 2 в город 1, а возвращаться нельзя, то следует запретить обратный переход из 1 в 2: . В результате получим матрицу:

i\ j	2	3	4	5
1		15	3	2
3	14		2	0
4	44	18		0
5		0	0

Замечаем, что в 1-ой строке и 2-ом столбце отсутствуют нули. Вычитаем из элементов 1-ой строки минимальный элемент 2, а из элементов 2-ого столбца – элемент 1.При этом Н.Г. маршрутов в левом поддереве (маршрутов, содержащих переход ) увеличится на 3:

Н.Г. = 47 + (2 + 1) = 50.

5. В преобразованной матрице стоимостей совершаем операции, аналогичные операциям п. 4. В результате получим

i\ j	2	3	4	5
1		13	1		2
3	13		2
4	43	18
5
	1

Выбираем ноль, который соответствует переходу , при этом обратный переход запрещаем: . Увеличиваем Н.Г. стоимостей маршрутов подмножества без перехода (4 5) в правом поддереве на 18:

Н.Г. = 50 + 18 = 68.

i\ j	2	3	4
1		13	1
3	13		2
5	0	0

В строках 1 и 3 нет нулей. Вычитаем минимальные элементы из этих строк и увеличиваем Н.Г. подмножества, содержащего переход , в левой части поддерева на сумму этих элементов:

Н.Г. = 50 + (1 + 2) = 53.

i\ j	2	3	4
1		12		1
3	11			2
5

Имеются два нуля с максимальными индексами: 12. Выбираем любой из них, например, соответствующий переходу . При этом повышаем Н.Г. стоимости подмножества, соответствующего 5 3 на 12:

Н.Г. = 53 + 12 = 65.

Поскольку в процессе решения были выбраны переходы и , то во избежание образования цикла следует запретить обратный переход , т.е. . Матрица примет вид:

i\ j	2	4
1		0
3	11

В столбце 2 нет нулей. Вычитаем минимальный элемент, равный 11 и увеличиваем Н.Г. стоимости подмножества, содержащего переход на 11:

Н.Г. = 53 + 11 = 64.

Совершая операции, аналогичные операциям п. 4., получим матрицу

i\ j	2	4
1
3
	11

Выбираем переходы и . В результате получим маршрут со стоимостью, равной 64:

.

Дерево, соответствующее этому решению, имеет вид:

Но имеется группа маршрутов, где переход запрещен, но стоимость меньше 64.

7. Возвращаемся к маршруту, где стоимость равна 62, поскольку в других узлах стоимость выше. Запрещаем переход . Тогда матрица примет вид:

I \ j	1	2	3	4	5
1		0	15	3	2
2			12	22	20
3	18	14		2	0
4	3	44	18		0
5	15	1	0	0

Продолжаем разбивать множества маршрутов, аналогично предыдущему. В строке 2 и в столбце 1 нет нулей. Значит

i \ j	1	2	3	4	5
1			15	3	2
2				10	8	12
3	15	14		2
4		44	18		0
5	12	1	0
	3

Для подмножества с 2 1 Н.Г. = 47 + (12 + 3) = 62.

По индексам у нулей выбираем переход и 4 1. Для подмножества с 4 1 Н.Г. = 62 + 12 = 74. Вычеркиваем 4-ую строку и 1-ый столбец , запрещаем переход 1 . Тогда получим матрицу

i \ j	2	3	4	5
1		15		2
2			10	8
3	14		2
5	1	0

Так как матрица приведенная ( в каждом столбце и каждой строке имеются нули ), то оценка для подмножества с переходом 4 не изменится: Н.Г. = 62.

По индексам у нулей выбираем и 2 3. Для подмножества с 2 3 оценка увеличится : Н.Г. = 62 + 8 = 70. Удаляем строку 2 и столбец 3, запрещаем переход . Тогда получим

i \ j	2	4	5
1			2
3		2
5	1

Матрица приведенная, значит для подмножества с переходом оценка Н.Г. = 62.

Выбираем и 3 5. Для подмножества 3 5 Н.Г. = 62 + 4= = 66. Удаляя строку 3 и столбец 5, получим

i \ j	2	4
1
5	1

Матрица приведенная, поэтому для подмножества с переходом оценка Н.Г. = 62.

Выбираем и , 1 2 и 5 4. Для подмножества с

1 2 и 5 4 Н.Г. = 62 + 1 + 1 = 64. Для подмножества с переходами

и Н.Г. = 62.

В результате получим оптимальный маршрут со стоимостью, равной 62 :

.

Дерево с оптимальным маршрутом имеет вид:

■