§ 2. Пространство циклов графа

В электротехнике используется понятие цикломатического числа. Это число имеет следующий физический смысл: оно равно наибольшему числу независимых (базисных) циклов в графе. При расчете электрических цепей цикломатическим числом можно пользоваться для определения числа независимых контуров.

Хордой остова D в связном графе называется всякое ребро графа, не принадлежащее остову D .

Любая часть графа, которая состоит из хорды и остова, имеет точно один цикл.

Цикломатическое число графа G равно числу хорд любого остова графа G.

Если связный граф G имеет п вершин и т ребер, то

Если граф G содержит k компонент связности (несвязный граф), то его цикломатическое число

Цикломатическое число несвязного графа можно также определить как сумму цикломатических чисел его компонент связности:

Как уже говорилось: число базисных (независимых) циклов равно цикломатическому числу. Иногда требуется найти все пространство циклов графа. Рассмотрим метод определения пространства циклов графа.

Теорема. Число базисных циклов графа постоянно и равно его цикломатическому числу.

Базис пространства циклов определяется базисной системой циклов.

Базисной системой циклов для данного остовного леса D графа G называется множество всех циклов графа G , каждый из которых содержит только одну хорду остовного леса D .

Базисная система циклов записывается в виде базисной цикломатической матрицы .

Выполняя раз операцию сложения по модулю два над базисными циклами, получим все множество циклов графа. Пространство циклов графа записывают в виде цикломатической матрицы .

Пример. Найти базис пространства циклов и пространство циклов графа G , изображенного на рис. 5.4

□ Определим базис пространства циклов графа G. Для этого вычислим цикломатическое число графа G. Так как граф связный, то k = 1 и т = 9, п = 7:

т.е. базис циклов состоит из трех циклов.

С другой стороны, равно числу хорд любого остова графа G.

Рис. 5.4

Это означает, что в графе следует удалить три ребра такие, чтобы получился остов D графа G. Тогда эти три ребра будут его хордами. Один из возможных остовов графа G показан на рис. 5.5

Рис. 5.5

Хордами этого остова являются ребра a , d , h .

Строим базисную систему циклов. Так как заданный граф связный, то остовный лес D состоит из одного остовного дерева. Видно, что базисная система циклов состоит из трех циклов, каждый из которых содержит только одну хорду остова D. Изобразим базисную систему циклов в виде базисной цикломатической матрицы:

a d h b c e f g m