![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Действия над графами ]
Сопоставим
каждой вершине
(V={
/
і = 1,2,
…, m}
графа
G
= <V
Ui,
U2>
вес Wi
из
множества весов
W
= { Wi
/ i
= 1.2.3 …}
В
результате получим множество взвешенных
вершин
{(
,W
/ i
= 1.2. … n)}..
При этом не обязательно, чтобы все веса
были различными.
Сопоставим каждому элементу множества U2= {ui / i = 1,2 …m} вес pi из множества весов Р= {pi / i =1,2,…} . В результате получим множество взвешенных дуг {(ui , pi) / i = 1.2…., m}. При этом не обязательно, чтобы все веса были различными.
Определенные
выше множества взвешенных вершин и дуг
определяют в совокупности взвешенный
граф G
= <(
,W),(U
P)>,
V
= V
U
Ui,
U
= U2
,
который, строго говоря, является уже не
графом, а функцией, определенной на
вершинах и дугах графа.
Совсем не обязательно, чтобы были взвешены одновременно вершины и дуги.
К
ласс
матриц инциденций.
Если граф G
содержит
n
вершин
и m
дуг,
то матрица инциденций A(G)
=
определяется
следующим образом:
Граф
может содержать петли, т.е. дуги вида
(
).
В этом случае некоторые элементы матрицы
А одновременно равны и I,
и -I,
что приводит к неоднозначности элементов
матрицы А.
В таких случаях матрицу А разбивают на две матрицы А+ и А":
.
Если граф без петель, то А = А+ - А-. Матрицы А+ и А- описывают граф без учета весов вершин и дуг.
Веса
вершин
графя G
задаются
в виде столбцевой матрицы
Матрицы А+, А-, w, Р полностью описывают взвешенный граф
К
ласс
матриц смежности.
Матрица смежности S
=
невзвешенного графа определяется
следующим образом:
Для взвешенного графа
□ Используя определения матриц инциденций и смежности, построим эти матрицы. Они имеют вид:
Пример
2. Задан неориентированный граф G
< V,
U>
, у кото-рого
Задать
этот граф матрицей инциденций и матрицей
смежности. □Заданный
граф G
показан
на рис.2.2
Искомые матрицы имеют вид :
Пример
3. Задана логическая схема, реализующая
сложение по
модулю два f(х1,
х2)=:
х1
х2 в
базисе Шеффера
(рис.2.3).
Построить взвешенный граф
G
= <V,
W),
U>
,
в котором вершины
взвешены
переменными х1,
х2,
функциональной переменной
элемента
Шеффера и функциональной переменной
f
соответственно.
Начало дуги соответствует переменной
х1,
х2
или
выходу элемента Шеффера, конец дуги -
входу элемента Шеффера или функциональной
переменной
f . Задать построенный взвешенный граф матрицами инциденций, смежности и весов.
Матрица инциденций имеет вид:
Матрица смежности и матрица весов вершин имеют вид:
При
задании графя G
отсутствует
матрица Р(G),
т.к. дуги этого
графа не взвешены.■
Объединением
гряфов Ga=<Vа,
Ua>
и
Gb
= <Vb
Ub>
называется
граф G
= <V,
U
>,
у
которого
и
.
Пример
4. Заданы граф Ga=<Vа,
Ua>
, у которого Vа={
a,
b}.
Uа={a,
b}
и
граф Gb
= <Vb
Ub>
, у которого Vb
= {
a,
d,
c},
Ub
= {(a
,d,
(a,
c),
(d,
c)}..
Найти объединение этих графов, т.е.
Ga
Gb.
□
По определению
Ga
Gb.=
G
= <V,
U
>,
где
и
.
Зная
V
и U,
всегда можно построить граф G
, который показан нарис.2.5.
Рис. 2. 4
Граф
K1,2
показан на рис.2.6.
Суммой
графов Ga=<Vа,
Ua>
и Gb
= <Vb
Ub>
называется граф
G
=
< V,
U
>
, представляющий собой объединение
графов Ga
,
Gb
и полного двудольного графа Km,n
,
построенного
на носителях
Vа
\
Vа
Vb
и Vb
\
Vа
Vb
.Другими словами, при построении суммы
графов Ga
и
Gb
определяется
их объединение и каждая вершина
Va
, не вошедшая в пересечение Vа
Vb,
соединяется со всеми вершинами Vb,
не вошедшими в пересечение Vа
Vb
и наоборот.
Пример
б. Найти сумму графов Ga
и
Gb,
заданных в примере 4.
□ По определению
Ga
+
Gb
= G
= Ga
Gb
Кm,nи
G
=
< V,
U
>
Тогда V=
Va
Vb
VК,
U=
Ua
Ub
UК
- это
множество вершин и множество ребер
полного двудольного графа Кт
п
соответственно.
Vа,
Vb,
Ua,
Ub
известно, значит, требуется найти VК
и
UК,
т.е. полный двудольный граф Km,n
. В двудольном графе множество вершин
разбито на два непересекающихся
подмножества VК1
и VК2,
т.е. VК=
VК1
VК2,
причем VК1
= Vа
\
Vа
Vb
VК2=
Vb
\
Vа
Vb.
Это следует из определения суммы графов
. Vа
Vb
= {a,b}
{a,d,c}=
{a},
VК1={a,b}
\
{a}=
{b},
VК2=
{a,d,c}
\
{a}=
{d,c},
VК={b}
{d,c}
= {b,d,c}.
Рис.2.6
Теперь можно определить V и U искомого графа G • V= Va Vb VК={a,b} {a,d,c} {b,d,c}= {a,b,d,c} U= Ua Ub UК={(a,b)} {(a,d,(a,c),(d,c)} {(b,d), (d,c)}= {(a,b),(a,d),(a,c),(d,c),(b,d),(b,с)}.
На рис.2.7 показан искомый граф G.
Рис.2.7
Здесь тонкими линиями выделены ребра графа, который является объединением графов Ga и Gb (ср. с рис.2.5), жирными линиями - ребра двудольного графа К1,2 . ■
Произведением
(декартовым произведением) графов
и
называется граф G
= <V,
U
>,
у которого V
=
х
=
Г
=
Г
.
Пример
6. Найти декартово произведение графов
и
,.если
Va={a,b},
Ua={(a,b)},
Vb
={1.2,3
,
Ub
= {(1,2),(1,3),(2,3)}.
□ Так
как в определении произведения графов
фигурируют окрестнос-ти
и
,
а в условии задачи нет, то для нахождения
Га
и
построим
графы
и
(рис.2.8):
Рис.2.8
Искомым графом будет граф G = < V, Г > . Найдем V и Г . V = х = {а,b} х {1,2,3} = {(а,1),(а,2),(а,3),(b,1),(b,2),(b,3)}. Теперь найдем окрестность для каждой найденной вершины графа G:
Г(а,1)=Га х Г1={b} х {2,3} = {(b,2),(b,3)} , Г(а,2)=Га х Г2={b} х {1,3} = {(b,1),(b,3)}, Г(а,3)=Га х Г3={b} х {1,2} = {(b,1),(b,2)} , Г(b,1)=Гb х Г1={a} х {2,3} = {(a,2),(a,3)} , Г(b,2)=Гb х Г2={a} х {1,3} = {(a,1),(a,3)} , Г(b,3)=Гb х Г3={a} х {1,2} = {(a,1),(a,2)} , Зная множество вершин V и множество окрестностей Г этих вершин, всегда можно построить граф. Искомый граф G показан на рис.2.8.1
Задачи для самостоятельного решения
1. Два автомобиля направляются в город f . Первый автомобиль едет из города а через города с,e, d в город f , а второй из города b через города с, d,e в f. Построить взвешенный граф, соответствующий маршрутам автомобилей, если между городами a и c, b и c расстояние 5 км, с и е - 7 км, с и d - 10 км, е и d - 15 км, d и f - 20 км, е и f - 9 км и городя а, b, c, d, e и f имеют соответственно 2,3,4,3,2 и 1 автозаправочные станции. Задать построенный взвешенный граф матрицами инциденций, смежности и матрицами весов.
2. Задать неориентированный граф G = <V, U >, у которого V={a ,b, c, d, e ,f, g}, U={(a,b),(a,c),(b,d),(a,e),(b,f),(c,d),(c,e),(d,f),(e,g),(f,g)}, матрицами инциденций и смежности.
Найти объединение графов G1 = <V1, U1 > и G2 = <V2, U2 >,если V1={a ,b, c}, U1={(a,b),(a,c),(b,c)}, V2={a , e ,f, g}, U2={(d,e), (d,f), (d,g),(e,f), (e,g), (f,g).,
Найти сумму графов G1 и G2, указанных в задаче 3.
Найти декартово произведение графов G1 и G2, указанных
в задаче 3
3. СВЯЗНОСТЬ И СИЛЬНАЯ СВЯЗНОСТЬ ГРАФА
3.1. Неориентированный граф.
Цепью
называется последовательность ребер
(ρ1,
ρ2…,
ρn)
вида ρi=
,
i=1,2,
…, n
(рис.3.1а).
Вершины цепи могут иметь степень, равную
1. Вершина
со
степенью, равной 1., называется концевой.
Число
ребер цепи, соединяющей вершины
и
называется ее
длиной l( , ).
Цепь называется составной, если в ней повторяется хотя бы одно ребро (рис.3.16), сложной, если хотя бы одна вершина (рис.З.1в), и простой - в противном случае (рис.3.1а).
Рис.3.I
Из
рис.3.1б видно, что при прохождении из
вершины
в
вершину
через
все вершины цепи ребро (
,
)
проходится дважды. На рис.З.1в показано,
что при прохождении из вершины
в
.
через все вершины цепи вершина проходится дважды.
Циклом называется цепь, концевые вершины которой совпадают (рис.3.1г).
Циклы
бывают составными, сложными, простыми.
Поэтому все вер-шины
цикла имеют степень s(
)≥2.
Граф G = <V, U > называется связным, если любая пара его вершин соединена цепью (рис.3.2а).
Максимальный по включению вершин связный подграф графа называ-ется его компонентой связности.
Граф называется несвязным, если число его компонент больше одной (рис.3.2б).
Рис.3.2
Минимальная
длина цепи, соединяющей вершины
и
,
называется расстоянием r(
,
)
между вершинами
и
:
r(
,
)=
(
,
)
Пример I, На рис.3.3 показана цепь. Найти расстояние между вершинами и
Рис.3.3
□ Из
вершины
можно пройти в вершину
по
ребрам ρ1,
ρ5,
по
ребрам ρ1,
ρ2,
ρ6
,
по ребрам ρ1,
ρ2,
ρ3,
ρ4.
Значит
l1( , )=2, l2( , )=3, l3( , )=4
Согласно определению расстояния r( , ) между вершинами и r( , )= 2 ■ Максимальное расстояние между вершинами графя G называется диаметром графя d(G).
Пример 2. Найти диаметр графа G = < V, U > , если □Заданный граф изображен на рис.3.4
Рис.3.4 Рис.3.5
Определяем
расстояния между вершинами:
r(
,
)=
1 r(
,
)=
1 r(
,
)=
1
r(
,
)=
2 r(
,
)=
1
Максимальным
расстоянием является расстояние между
вершинами
и
.
Значит d(G)
= 2.
■
Цикл называется эйлеровым, если каждое ребро графа участвует в его образовании один раз; граф, содержащий такой цикл, называется эйлеровым.
Теорема.
Граф G
= < V,
U
>
является эйлеровым тогда и голько
тогда, когда он связен и степень каждой
вершины
V,
s(
)
-
четное число.
Пример 3. Является ли
граф G
= < V,
U
>
, у которого
эйлеровым
?
□ Заданный граф показан на рис.3.5.
Из рисунка видно, что граф связен (любая пара его вершин соединена цепью или граф состоит из одной компоненты связности) и вер-шины имеют следующие степени:
s(
)=2,
s(
)=4,
s(
)=2,
s(
)=4,
s(
)=2
То есть степени всех вершин равны
четному числу. Согласно теореме граф
является эйлеровым.
Заданный граф
содержит эйлеровый цикл
3начит,
граф эйлеровый. ■
Простой цикл называется гамильтоновым, если он проходит через каждую вершину графа; граф, содержащий такой цикл, называется гамильтоновым.
Пример 4. Является ли граф G , указанный на рис.3.6, гамиль-тоновыым?
Рис.3.6
П Заданный граф является гамильтоновым, т.к. он содержит га-мильтоновый цикл, т.е. простой цикл, проходящий через каждую вер-шину графа,
■
Разделяющим множеством связного графа G называется такое множество его ребер, удаление которых из G делает его несвязным,
Разрезом (коциклом) называется такое разделяющее множество, которое не имеет собственного разделяющего подмножества.
Разрез (коцикл), состоящий из одного ребра, называется мостом.
Пример 5. Является ли множество ребер { ρ3, ρ5, ρ9, ρ7} графа G, указанного на рис.3.7, разрезом?
Рис.3.7
□ Граф G с удаленными ребрами ρ3, ρ5, ρ9, ρ показан на рис.3.8а.
Из рисунка видно, что граф стал несвязным (имеет две компоненты связности). Значит, множество ребер {ρ3, ρ5, ρ9, ρ7} является разделяющим множеством. Но это разделяющее множество не является разрезом (коциклом), т.к. оно содержит собственное разде-ляющее подмножество { ρ5, ρ9, ρ7}. Действительно, удаление ребер ρ5, ρ9, ρ7 делает граф G несвязным. Множество ребер { ρ5, ρ9, ρ7}. не содержит собственного разделяющего подмножества, поэтому это множество ребер является разрезом (рис.3.8б). ■
Рис. 3.8