26. Расчеты вероятностей отказа и безотказной работы при различных видах резервирования.

Вероятность безотказной работы системы с последовательным соединением элементов без резервирования определяется как вероятность безотказной работы всех элементов в течении времени t:

P_с(t) = P₁(t)P₂(t)…P_n(t), где P_i(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента.

При экспоненциальном законе распределения каждого элемента вероятность безотказной работы системы из последовательно соединенных элементов также подчиняется экспоненциальному закону.

P_с(t) = e^{– λ1t} e^{– λ2t}…e^{– λnt} = e^{– Σλt}. Отсюда интенсивность отказов системы λ_с = λ₁+λ₂+…+ λ_n.

Вероятность отказа системы по определению Q_с(t) = Q₁(t)+Q₂(t)+…+Q_n(t).

В теории надежности различают два способа резервирования:

1. Постоянное – резервирование, при котором в работе постоянно находятся все элементы, и система не отказывает до выхода из строя определенного их числа.

2. Замещением – резервирование, при котором резервные элементы включаются только после автоматического отключения отказавших элементов.

При постоянном резервировании важнейшим показателем надежности является кратность резервирования – соотношение числа рабочих и резервных элементов:

k = (n – r)/r = (m – 1)/(n – m + 1),

где n – общее число элементов системы, работающих параллельно, r – число элементов, необходимых для нормальной работы (r < n), (n – r) – число резервных элементов, m – число элементов, отказ которого приводит к выходу системы из строя.

Таким образом, условие отказа: m – 1 = n – r.

Если отказы одного элемента независимы от отказов других элементов, то формулы для оценки вероятности безотказной работы и вероятности отказа системы можно получить, сформировав сумму произведения вероятностей Q_i(t) и P_i(t) на основе произведения n биномов

Выбрав из этой суммы члены с числом элементов Q_i(t), большим или равным m, можно сформировать из них выражение для вероятности отказа. Выбрав же члены с числом Q_i(t), меньшим m, можно сформировать из них выражение для вероятности безотказной работы системы с параллельным соединением элементов.

При условии равной надежности элементов

; , где .

Для различных k существуют таблицы и кривые зависимости вероятности безотказной работы системы от кратности резервирования при экспоненциальном законе

P_k(t) = f(k,t)

Вероятность безотказной работы системы с резервированием определяется надежностью не только самих элементов, но и систем автоматики, которые при постоянном резервировании должны отключать отказавший элемент, а при резервировании замещением – еще и включать резервный.

Если при отказе отключающей аппаратуры в отключении выводится вся система, то вероятность безотказной работы системы с постоянным резервированием: P_с(t) = P_k(t)P_А(t),

где P_k – вероятность безотказной работы группы элементов с кратностно резервированным k; P_А – вероятность отсутствия отказов срабатывания при отключении отказавших элементов.

При резервировании замещением вероятность отказа системы определяется по формуле полной вероятности:

Q_с = P(A₁)P(A₂) + Q(A₁)P(A₂) + P(A₁)Q(A₂) + Q(A₁)Q(A₂)

где – условная вероятность отказа системы при отсутствии отказов отключающей и включающей аппаратуры;

– условная вероятность отказа системы при отказе в отключении отказавшего элемента;

– условная вероятность отказа системы при отказе во включении резервного элемента;

– условная вероятность отказа системы при совпадении отказа в отключении отказавшего и включении резервного элементов;

P (A₁), Q(A₁) – вероятность соответственно отсутствия отказа и отказа в отключении отказавшего элемента;

P(A₂), Q(A₂) – вероятность соответственно отсутствия отказа и отказа во включении резервного элемента.