- •Глава I
- •§ 1. Определение графа
- •§ 2. Подграфы
- •§ 3. Операции над графами
- •§ 4. Цепи, циклы, компоненты
- •§ 5. Степени вершин графа
- •§ 6. Матрицы, ассоциированные с графом
- •§ 7. Регулярные графы
- •§ 8. Метрические характеристики графа
- •§ 9. Критерий двудольности графа
- •§10. Реберный граф
- •§ 11. Группа автоморфизмов графа
- •§ 12. «Почти все» графы
- •Упражнения
- •Глава II Деревья
- •§ 13. Определение дерева
- •§ 14. Матричная теорема Кирхгофа
- •§ 15. Остов минимального веса
- •Упражнения
- •Глава III
- •§ 16. Азбука теории матроидов
- •§ 17. Двойственный матроид
- •§ 18. Примеры матроидов
- •§ 19. Изоморфизм матроидов
- •§ 20. Представление матроида
- •§ 21. Бинарные матроиды
- •§ 22. Трансверсали
- •§ 23. Жадный алгоритм
- •§ 24. Объединение и пересечение матроидов
- •Глава IV Независимость и покрытия
- •§ 25. Независимые множества и покрытия
- •К. Шеннон ввел параметр
- •§ 26. Клика
- •§ 27. Проблемы клики, изоморфной вложимости и изоморфного подграфа
- •§ 28. Интерпретации независимых множеств
- •§ 29. Паросочетания
- •§ 30. Паросочетания в двудольном графе
- •§ 31. Двудольные графы и семейства подмножеств
- •§ 32. Паросочетания и покрытия
- •Упражнения
- •Глава V
- •§ 33. Вершинная связность и реберная связность
- •Чтобы учесть эту и подобные ей ситуации, естественно ввести следующее распределение: максимальный k-связный подграф графа называется его k-связной компонентой, или просто k-компонентой.
- •§ 34. Двусвязные графы
- •§ 35. Теорема Менгера
§ 8. Метрические характеристики графа
Пусть G — связный граф, а u и v — две его несовпадающие вершины. Длина кратчайшего (u, v) -маршрута (он, естественно, является простой цепью) называется расстоянием между вершинами u и v и обозначается через d(u, v). Положим еще d(u, u)=0. Очевидно, что введенное таким образом расстояние удовлетворяет следующим аксиомам метрики:
d(u, v)>= 0,
d(u, v) = 0 тогда и только тогда, когда u = v,
d(u, v)= d(v, и),
d(u, v)+d(v, w) >= d(u, w) (неравенство треугольника).
Понятие расстояния между вершинами в связном графе позволяет определить k-ю степень графа. Пусть G — связный граф, k — натуральное число. Граф Gk имеет то же множество вершин, что и G; несовпадающие вершины u и v смежны в графе Gk тогда и только тогда, когда для графа G верно неравенство d(u, v)<=k. Очевидно, что если k >= |G| — 1, то Gk — полный граф.
Для фиксированной вершины u величина
н азывается эксцентриситетом вершины u. Максимальный среди всех эксцентриситетов вершин называется диаметром графа G и обозначается через d(G). Тем самым
В ершина v называется периферийной, если e(v)=d(G). Простая цепь длины d(G), расстояние между концами которой равно d(G), называется диаметральной цепью.
Д ля иллюстрации обратимся к графу на рис. 8.1. Здесь d(1, 2)=1, d(1, 3)=2; e(1)=2; d(G)=2. Все вершины, кроме вершины 2, являются периферийными, (1, 2, 3) — диаметральная цепь.
Утверждение 8.1. Для всякого связного графа G верно неравенство d(G)<=rank G.
> Пусть d(G) = d и
v1, v2, ..., vd+1 (1)
— одна из диаметральных цепей графа G. Рассмотрим матрицу смежности A(G), причем выберем нумерацию вершин так, чтобы вершины (1) имели номера 1, 2, ..., d + 1 соответственно. Очевидно, что
— клеточная матрица, в левом верхнем углу которой расположена матрица смежности A порожденного подграфа G(v1, v2, ..., vd+1). Этот подграф является простой цепью, следовательно,
— симметрическая матрица порядка d+1, все элементы которой, за исключением двух ближайших к диагонали полос единиц, равны нулю. Минор порядка d матрицы A, остающийся после устранения первого столбца и последней строки, равен 1. Следовательно, rank A (G) >= rank А >= d. <
Минимальный из эксцентриситетов вершин связного графа называется его радиусом и обозначается через r(G):
О чевидно, что радиус графа не больше его диаметра.
Вершина v называется центральной, если e(v)= r(G). Множество всех центральных вершин графа называется его центром. Граф может иметь единственную центральную вершину или несколько центральных вершин. Наконец, центр графа может совпадать с множеством всех вершин. Например, центр простой цепи Pn при четном числе вершин n состоит ровно из двух вершин, а при нечетном — из одной; для цикла же Cn все вершины являются центральными.
Задача нахождения центральных вершин графа постоянно возникает в практической деятельности людей. Пусть, например, граф представляет сеть дорог, т. е. вершины его соответствуют отдельным населенным пунктам, а ребра — дорогам между ними. Требуется оптимально разместить больницы, магазины, пункты обслуживания. В подобных ситуациях критерий оптимальности часто заключается в оптимизации «наихудшего» случая, т. е. в минимизации расстояния от места обслуживания до наиболее удаленного пункта. Следовательно, местами размещения должны быть центральные вершины графа.
Реальные задачи (их называют минимаксными задачами размещения, см. [27]) отличаются от этой идеальной тем, что приходится еще учитывать другие обстоятельства — фактические расстояния между отдельными пунктами, стоимость, время проезда и прочее. Для того чтобы учесть это, используют понятие «взвешенный граф». Пусть G — граф, w: EG -> R+ — вещественно-значная функция, ставящая в соответствие каждому ребру e положительное (или неотрицательное) число w(e) — вес ребра e. Пару (G, w) назовем взвешенным графом. Под длиной (или весом) любого подграфа взвешенного графа будем понимать сумму весов его ребер. В остальном все определения сохраняются.