
- •Непосредственное интегрирование
- •Примеры решения задач
- •Метод замены переменной и формула интегрирования по частям
- •Примеры решения задач
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Примеры решения задач
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Примеры решения задач
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Примеры решения задач
- •Определённый интеграл
- •Примеры решения задач
- •Несобственные интегралы
- •Примеры решения задач
- •Приложения определённого интеграла
- •Примеры решения задач
- •Частные производные первого и высшего порядков. Дифференциал функции нескольких переменных.
- •Примеры решения задач
- •Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Примеры решения задач
- •Экстремум функции двух переменных
- •Примеры решения задач
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, однородные и сводящиеся к однородным уравнения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижения порядка
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами, метод вариации постоянной
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Примеры решения задач
1.
Найти интегралы: а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
Это интегралы типа 1.
а)
В этом случае
.
Сделаем подстановку
(6– наименьшее общее кратное чисел 2 и
3). Тогда
б)
В этом случае
.
Сделаем подстановку
(6– наименьшее общее кратное чисел 2 и
3). Тогда
.
в)
В этом случае
.
Сделаем подстановку
.
Отсюда
и, значит,
.
Тогда
.
2.
Найти интеграл
.
Решение.
Это
интеграл типа 2. Применим подстановку
.
Тогда
.
Здесь в последнем равенстве использована формула:
.
3.
Найти интеграл
.
Решение.
Это интеграл типа 3. Выделим полный квадрат в знаменателе:
и
сделаем подстановку
.
Тогда
.
4.
Найти интеграл
.
Решение.
Представим
данный интеграл в виде
.
Теперь
видно, что под знаком интеграла стоит
дифференциальный бином вида 4, при этом
.
Так как в данном случае
–
целое число, то следует применить
подстановку 2), т. е.
.
Следовательно,
,
и, значит,
.
Таким образом,
.
Задачи для самостоятельного решения
1.
Ответ:
.
2.
Ответ:
.
3.
Ответ:
.
4.
Ответ:
.
5.
Ответ:
.
6.
Ответ:
.
7.
Ответ.
.
8.
Ответ:
.
9.
Ответ:
.
10.
Ответ:
.
11.
Ответ:
.
12.
Ответ:
.
13.
Ответ:
.
14.
Ответ:
15.
Ответ:
.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6
Определённый интеграл
Основные свойства определённого интеграла:
1.
2.
3.
4.
.
5.
,
где
– постоянная.
6.
Оценка
определённого интеграла:
если
на
,
то
Правила вычисления определённых интегралов:
1. Формула Ньютона-Лейбница:
,
где
– первообразная для
,
т. е.
.
2. Интегрирование по частям:
,
где
,
– непрерывно дифференцируемые функции
на отрезке
.
3. Замена переменной:
,
где
– функция, непрерывная на
,
– функция, непрерывная вместе со своей
производной на отрезке
,
,
.
4.
Если
– нечётная функция, т. е.
,
то
.
Если
– чётная функция, т. е.
,
то
.
Примеры решения задач
Вычислить интегралы: а)
; б)
.
Решение.
а)
Подынтегральная функция
на отрезке
имеет первообразную
.
Тогда по формуле Ньютона–Лейбница
.
б) Выделяя полный квадрат в знаменателе под корнем, находим:
.
Оценить интеграл
.
Решение.
Поскольку
,
имеем:
и
.
Вычислить интегралы: а)
; б)
; в)
.
Решение.
Вычислим эти интегралы с помощью замены переменной.
а)
Применим подстановку
.
Находим новые пределы интегрирования:
-
1
9
1
3
Тогда
.
б)
.
в)
.
Вычислить интегралы: а)
; б)
.
Решение.
Эти интегралы вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям.
а)
б)
.
Вычислить интегралы:
а)
;
б)
.
Решение.
Это интегралы в симметричных пределах. Значит, нужно проверить подынтегральные функции на предмет чётности-нечётности.
а)
Подынтегральная функция
– нечётная, значит,
.
б) В данном случае подынтегральная функция не является ни чётной, ни нечётной, но её можно представить в виде суммы таких функций:
.
Тогда
.
Задачи для самостоятельного решения
1.
Ответ:
.
2.
Ответ:
.
3.
Ответ:
.
4.
Ответ:
.
5.
Ответ:
.
6.
Ответ:
.
7.
Ответ:
.
8.
Ответ:
.
9.
Ответ:
.
10.
Ответ:
.
11.
Ответ:
.
12.
Ответ:
.
13.
Ответ:
.
14.
Ответ:
.
15.
Ответ:
.
16.
Ответ:
.
17.
Ответ:
.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 7