Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
мат.ан.rtf
Скачиваний:
31
Добавлен:
15.08.2019
Размер:
14.78 Mб
Скачать

Примеры решения задач

1. Найти интегралы: а) ; б) ; в) .

Решение.

Это интегралы типа 1.

а) В этом случае . Сделаем подстановку (6– наименьшее общее кратное чисел 2 и 3). Тогда

б) В этом случае . Сделаем подстановку (6– наименьшее общее кратное чисел 2 и 3). Тогда

.

в) В этом случае . Сделаем подстановку . Отсюда и, значит,

.

Тогда

.

2. Найти интеграл .

Решение.

Это интеграл типа 2. Применим подстановку . Тогда

.

Здесь в последнем равенстве использована формула:

.

3. Найти интеграл .

Решение.

Это интеграл типа 3. Выделим полный квадрат в знаменателе:

и сделаем подстановку . Тогда

.

4. Найти интеграл .

Решение.

Представим данный интеграл в виде .

Теперь видно, что под знаком интеграла стоит дифференциальный бином вида 4, при этом . Так как в данном случае – целое число, то следует применить подстановку 2), т. е. . Следовательно, , и, значит, . Таким образом,

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Ответ: .

2. Ответ: .

3. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ. .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

11. Ответ: .

12. Ответ:

.

13. Ответ: .

14. Ответ:

15. Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6

Определённый интеграл

Основные свойства определённого интеграла:

1.

2.

3.

4. .

5. , где – постоянная.

6. Оценка определённого интеграла: если на , то

Правила вычисления определённых интегралов:

1. Формула Ньютона-Лейбница:

,

где – первообразная для , т. е. .

2. Интегрирование по частям:

,

где , – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке .

3. Замена переменной:

,

где – функция, непрерывная на , – функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке , , .

4. Если – нечётная функция, т. е. , то

.

Если – чётная функция, т. е. , то

.

Примеры решения задач

  1. Вычислить интегралы: а) ; б) .

Решение.

а) Подынтегральная функция на отрезке имеет первообразную . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

.

б) Выделяя полный квадрат в знаменателе под корнем, находим:

.

  1. Оценить интеграл .

Решение.

Поскольку , имеем:

и .

  1. Вычислить интегралы: а) ; б) ; в) .

Решение.

Вычислим эти интегралы с помощью замены переменной.

а) Применим подстановку . Находим новые пределы интегрирования:

1

9

1

3

Тогда

.

б)

.

в)

.

  1. Вычислить интегралы: а) ; б) .

Решение.

Эти интегралы вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям.

а)

б)

.

  1. Вычислить интегралы:

а) ; б) .

Решение.

Это интегралы в симметричных пределах. Значит, нужно проверить подынтегральные функции на предмет чётности-нечётности.

а) Подынтегральная функция – нечётная, значит,

.

б) В данном случае подынтегральная функция не является ни чётной, ни нечётной, но её можно представить в виде суммы таких функций:

.

Тогда

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Ответ: .

2. Ответ: .

3. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

11. Ответ: .

12. Ответ: .

13. Ответ: .

14. Ответ: .

15. Ответ: .

16. Ответ: .

17. Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 7

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]