Порог чувствительности

Невозможно увеличивать чувствительность измерительной системы до бес­конечности (например, путем увеличения коэффициента усиления): идя по этому пути, мы столкнемся с порогом чувствительности.

Порог чувствительности измерительной системы определяется как наи­меньший входной сигнал, который все еще обнаруживается с заданной ве­роятностью правильного решения. Порог чувствительности препятствует обнаружению нами сколь угодно малых сигналов. Это обусловлено тем, что во всякой реализуемой физической системе имеются спонтанные, случай­ные флуктуации (шум), из-за которых малый по величине измеряемый вход­ной сигнал «тонет» в этом (образующем фон) шуме. Шум в измерительной системе может быть обусловлен многими причинами, такими как тепловые колебания (шум резистора) или квантовый характер потока зарядов, масс или носителей энергии через потенциальный барьер (дробовой шум элект­ронов, ионов или фотонов).

Помимо принципиально неизбежных флуктуационных шумов в из­мерительной системе существуют и другие источники возмущений, ко­торые могут затемнять полезный сигнал. Например, механические виб­рации или электрические наводки могут давать настолько большой сиг­нал на выходе, что слабые сигналы, действующие на входе, уже нельзя обнаружить. Такие механические дефекты как трение, люфт или нали­чие мертвой зоны могут приводить к тому, что входной сигнал ниже определенного порога чувствительности не будет приводить к появле­нию сигнала на выходе. Часто простым изменением конструкции изме­рительной системы эти нефундаментальные ограничения можно устра­нить.

Принципиальный предел чувствительности системы определяется слу­чайными флуктуациями внутри этой системы и является существенной характеристикой. В измерительной системе всегда присутствует шум, и он определяет теоретически осуществимый порог чувствительности.

Мы рассмотрим вопрос о пороге чувствительности шумящей измери­тельной системы в предположении, что измеряемая величина х остается постоянной. Пусть шум имеет гауссово распределение. Тогда при х = 0 выход­ной сигнал будет обладать плотностью распределения f_n(x) с = 0 (см. рис. 2.28). Если ко входу приложен сигнал х 0, то выходной сигнал будет скла­дываться из желаемого сигнала и (того же самого) шума. Плотность рас­пределения в этом случае обозначим f (y).

Теперь перед нами стоит важный вопрос: какой величины сигнал мож­но обнаружить? Другими словами, при каком значении мы все еще мо­жем отличить наблюдаемую ситуацию от случая, соответствующего = 0 и, следовательно, = 0 ? Ответ на этот вопрос зависит от степени определен­ности, с какой мы хотим знать, спрятан в шуме полезный сигнал или его нет. В постановке задачи нетрудно разобраться, следуя приводимым ниже рассуждениям. Предположим, что среднеквадратическое значение шума на выходе (стандартное отклонение распределения f_n(y)) равно п-й части вы­ходного сигнала . В силу того, что плотность распределения вероятноcтей f_n(y)

Рис.2.28. Порог чувствительности измерительной системы, подверженной дей­ствию шума, (а) Плотность распределения вероятностей для сигнала на выхо­де системы в отсутствие сигнала на входе (f_n(y)) и при его наличии (f_sn(y)). (b) Выходной сигнал как функция времени в случае, когда сигнала на входе нет (х = 0), и в случае, когда на входе действует сигнал, вызывающий появление на выходе постоянного напряжения .

является четной функцией, мы можем ввести критерий обнаруже­ния, основанный на том, что фактическое значение выходного сигнала у больше или меньше, чем 0,5 . Представим себе, что у- это выборочное значение выходного сигнала. Тогда нам необходимо иметь возможность сде­лать вывод о наличии сигнала на основе единственной выборки у. (Когда мы можем позволить себе отложить принятие решения и взять среднее от нескольких выборок, это фактически означает осуществление низкочастот­ной фильтрации. В этом случае вероятность обнаружения значительно возра­стает, так как увеличивается эффективное отношение сигнал/шум.) Если у > 0,5 , то мы делаем вывод, что сигнал на входе присутствует, а если у < 0,5 , то мы принимаем решение об отсутствии сигнала на входе. На рис. 2.28(b) показан случай, когда берется большое число выборок, как при наличии входного сигнала, так и в его отсутствие. Здесь п примерно равно 3 ( = З ). При п = 2 темная полоска между двумя изображениями выходного шума на экране осциллографа исчезает. В последнем случае мы уже не мо­жем четко различать эти два изображения; на рис. 2.28(a) показаны соответ­ствующие плотности распределения. Что значит надежность обнаружения в этом случае? Как можно видеть из графика на рис. 2.28(a), при = 2 (n = 2) (согласно критерию обнаружения, при котором происходит сравне­ние со значением 0,5 ) заключение, что «входного сигнала нет», будет ошибочным для 16% выборок. Это в точности та часть всей площади под f_sn(y), которая заштрихована. Поэтому доля случаев, в которых обнаружива­ется входной сигнал, порождающий выходной сигнал = 2 , составляет 84%. Следовательно, с достоверностью 84% можно обнаруживать маскируемое шумом постоянное напряжение, когда среднеквадратическое значение шума равно половине значения этого постоянного напряжения (п =2). Отноше­ние сигнал/шум в данном случае составляет (n )²/ ² = п² =4 . Это рассуж­дение показывает, что желаемая степень надежности определяет порог чув­ствительности (значение n).

В табл. 2.3 приведена достоверность или вероятность обнаружения сигна­ла на входе по критерию y > , вычисленная для нескольких значений .

Т абл. 2.3. Вероятность обнаружения и отношение сигнал/шум для раз­личных значений сигнала в зависимости от соотношения между стандартным отклонением и величиной сигнала.

Общепринятой мерой порога чувствительности является величина вход­ного сигнала, для которого отношение сигнал/шум равно единице. Тогда, в случае шума с нормальным распределением мгновенных значений, вероят­ность обнаружения оказывается равной примерно 70%.

В приведенном рассмотрении мы хотели выносить решение о наличии сигнала на входе по одному единственному выборочному значению или из­мерению. Порог чувствительности улучшается, когда мы выносим решение на основании нескольких (скажем, п) выборок. Как мы уже видели,

= ,

где - среднеквадратическое значение шума, а - стандартное отклоне­ние среднего от п выборок. Таким образом, в результате усреднения отно­шение сигнал/шум увеличивается в п раз и порог чувствительности соответ­ственно снижается.

Порог чувствительности можно также улучшить, сужая ширину полосы В измерительной системы. В предположении, что шум белый, находим его среднеквадратическое значение :

= ₀ ,

где ₀ - эквивалентный шум в полосе 1 Гц. Это означает, что с сокраще­нием полосы В измерительной системы в какое-то число раз, во столько же раз увеличивается отношение сигнал/шум. Соответственно этому снижается порог чувствительности.

В качестве альтернативы нахождению среднего от п отдельных последовательных выборок мы можем также измерять входной сигнал x(t) непрерывно в течение определенного времени T. Среднее по времени значение y_avg выход­ного сигнала измерительной системы y(t) на интервале (t, t + T) равно:

y_{avg= .}

Теперь можно воспользоваться этим средним, чтобы установить, имеется сигнал на входе или его нет. Чтобы определить результирующее улучшение порога чувствительности, применим теорему Шеннона о выборках, которая звучит так: если у сигнала y(t) нет составляющих на частотах выше, чем В Гц, то этот сигнал полностью определяется выборками, взятыми с интервалом 1 / 2В секунд на отрезке времени T, много большем чем 1 / В. Число дискретных выборок, описывающих y(t) на отрезке T секунд, равно 2ТВ. Возьмем среднее от этих 2 ТВ выборок. Среднеквадратическое значение шума в сигнале y(t) равно = ₀ . Таким образом, стандартное отклонение _avg среднего по выборкам из сигнала y{t) на протяжении Т секунд имеет вид:

_avg = .

Следовательно, вычисление среднего на интервале времени Т приводит к увеличению отношения сигнал/шум в 2 T раз; порог чувствительности сни­жается раз.

Подводя итоги, мы можем утверждать, что порог чувствительности — это наименьший сигнал, который можно обнаружить с определенной сте­пенью достоверности на фоне собственного шума измерительной системы. Порог чувствительности зависит от требуемой достоверности и величины шума в измерительной системе. Шум можно уменьшить, применяя измери­тельную систему с меньшей шириной полосы или вычисляя среднее для ряда выборочных значений, полученных в результате измерений, а также путем нахождения среднего по времени при непрерывном измерении на интервале времени T. Все эти меры требуют затраты большого времени для получения результата; как следствие их применения, отклик измерительной системы становится более медленным, и это является платой за снижение собственного порога чувствительности измерительной системы.