Основные инструменты Mathcad для решения задач теории вероятностей.

Определение функции распределения дискретной случайной величины и построение ее графика ~ Распределение дискретного случайного вектора ~ Библиотека стандартных распределений

Определение функции распределения дискретной случайной величины и построение ее графика

Дискретная случайная величина с вероятностями может быть задана распределением - таблицей вида

 

			...		...
			...		...

 

Такие таблицы в среде Mathcad удобно хранить в виде матрицы размерности .

Функция распределения случайной величины, имеющей приведенное выше распределение, имеет вид

В приведенном ниже примере показано, как в Mathcad можно определить дискретную случайную величину, ее функцию распределения и построить график функции распределения.

ПРИМЕР 1. Определим случайную величину, заданную приведенным ниже распределением. Определим в Mathcad эту случайную величину, определим ее функцию распределения и построим график функции распределения. Дискретная случайная величина имеет распределение

 

	1	0	7	4	-2

 

Распределение дискретного случайного вектора

 

Распределение дискретного случайного вектора

 

			...
			...
			...
...	...	...	...	...
			...

 

также удобно хранить в матрице размерности . Первому элементу первой строки этой матрицы присваивается нулевое значение, остальные элементы первой строки содержат значения случайной компоненты , элементы первого столбца - значения случайной компоненты , а остальные элементы - соответствующие вероятности: элемент, расположенный в -м столбце -й строки содержит значение вероятности того, что случайный вектор принимает значение .

В приведенном ниже примере показано, как в Mathcad можно определить двумерный случайный вектор.

 

ПРИМЕР 2.  Определим в Mathcad двумерный случайный вектор. Случайный вектор задан следующей таблицей:

 

	1	3	5	7
2	0.01	0.01	0.17	0.01
4	0.1	0.2	0.1	0.2
6	0.02	0.05	0.09	0.04

 

Библиотека стандартных распределений

 

Для вычислений со случайными величинами (непрерывными и дискретными) в Mathcad есть богатая библиотека встроенных функций наиболее распространенных стандартных распределений. Каждое распределение представлено в библиотеке тремя функциями - плотностью вероятностей для непрерывных распределений и функцией, вычисляющей вероятность заданного значения - для дискретных распределений, функцией распределения и функцией, обратной к функции распределения.

Например, для нормального распределения - это функции , и . Значением функции является значение в точке плотности вероятностей случайной величины , имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией ; значение функции - значение функции распределения этой же случайной величины ; значением функции является решение уравнения , где - функция распределения, определенная функцией , т.е. значением является квантиль уровня нормально распределенной случайной величины. Имена всех встроенных функций, определяющих плотности вероятностей, начинаются с буквы , определяющих функции распределения - с буквы , определяющих квантили - с буквы .

Ниже приведен список всех распределений, представленных в библиотеке Mathcad, и имена соответствующих функций:

бета-распределение - , , ;

биномиальное распределение - , , ;

распределение Коши- , , ;

-распределение- , , ;

экспоненциальное распределение - , , ;

распределение Фишера, F-распределение - , , ;

Гамма-распределение - , , ;

геометрическое распределение - , , ;

логнормальное распределение - , , ;

логистическое распределение - , , ;

отрицательное биномиальное распределение - , , ;

нормальное распределение - , , ;

распределение Пуассона - , , ;

распределение Стьюдента - , , ;

равномерное распределение - , , ;

распределение Вейбулла - , , .

В приведенном ниже примере построены графики и выполнены вычисления, демонстрирующие некоторые основные свойства функций, связанных со стандартным нормальным распределением .

 

ПРИМЕР 3. Построим график плотности вероятностей и функции распределения для стандартного нормального распределения. Вычислим квантиль a уровня 0.1 и значение функции распределения в точке x = a (т.е. проверим правильность вычисления квантили).

Кроме перечисленных функций, в библиотеке встроенных функций Mathcad есть функция Лапласа (интеграл ошибок) .

Для вычисления числовых характеристик дискретных и непрерывных случайных величин в Mathcad есть операторы интегрирования и дифференцирования вычисления конечных сумм и суммирования рядов, которые могут быть выполнены щелчком мыши по кнопке в панели и заполнением соответствующих помеченных полей.