ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1 / PO_1

.TEX
Скачиваний:
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
31.58 Кб
Скачать
☆
\documentstyle[12pt,draft,russcorr]{article}

\makeatletter
\def\l@section#1#2{\addpenalty{\@secpenalty}% good place for page break
   \addvspace{1.0em plus\p@}%
   \@tempdima 2.1em
   \begingroup
     \parindent \z@ \rightskip \@pnumwidth
     \parfillskip -\@pnumwidth
     \bf
     \leavevmode
      \advance\leftskip\@tempdima
      \hskip -\leftskip
     #1\nobreak\hfil \nobreak\hbox to\@pnumwidth{\hss #2}\par
   \endgroup}

\makeatother
\tolerance5200
%\newcommand{\ctg}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
%\newcommand{\sh}{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\newcommand{\ch}{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\newcommand{\th}{\mathop{\rm th}\nolimits}
%\newcommand{\cth}{\mathop{\rm cth}\nolimits}
\newcommand{\rot}{\mathop{\rm rot}\nolimits}
%\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\newcommand{\arctg}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
%\newcommand{\arcctg}{\mathop{\rm arcctg}\nolimits}
\newcommand{\sign}{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\let\o=\omega
\let\e=\varepsilon
\let\t=\tau
\let\tet=\vartheta
\let\f=\varphi
\let\d=\partial
\let\a=\alpha
\let\b=\beta
\let\z=\zeta
\let\g=\gamma
\let\O=\Omega
\let\de=\delta
\let\De=\Delta
\let\D=\Delta
\let\di=\displaystyle
\let\s=\section
\let\ss=\subsection



\begin{document}
\begin{center}\large \bf ЊЁЁбвҐабвў® ®Ўа §®ў Ёп ђ®ббЁ©бЄ®© ”Ґ¤Ґа жЁЁ

\bigskip

\it ``ЊЂ’€"- ђЋ‘‘€‰‘Љ€‰ ѓЋ‘“„Ђђ‘’‚…ЌЌ›‰
’…•ЌЋ‹Ћѓ€—…‘Љ€‰ “Ќ€‚…ђ‘€’…’ Ё¬.~Љ.~ќ.~–€Ћ‹ЉЋ‚‘ЉЋѓЋ

\vskip30pt
\rm
Љ дҐ¤а  "‚лби п ¬ вҐ¬ вЁЄ "


\vskip 80pt

\bf Ђ.~‚.~†Ґ¬ҐаҐў

\vskip20pt

‚‚…„…Ќ€… ‚ ЊЂ’…ЊЂ’€—…‘Љ€‰ ЂЌЂ‹€‡
\bigskip

— бвм 1

\bigskip
\rm ЊҐв®¤ЁзҐбЄ®Ґ Ї®б®ЎЁҐ ¤«п бвг¤Ґв®ў 1-Ј® Єгаб  2-Ј®~д Єг«мвҐв  ЊЂ’€

\vskip 150pt
Њ®бЄў   2003 Ј.
\end{center}

\thispagestyle{empty}
\newpage

\tableofcontents

\newpage

\s{Џ®пвЁҐ ¬®¦Ґбвў }

    Џ®пвЁҐ ¬®¦Ґбвў  ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв Є зЁб«г ЇҐаўЁзле, Ґ ®ЇаҐ¤«пҐ¬ле зҐаҐ§
Ў®«ҐҐ Їа®бвлҐ.

    Џ®¤ {\it ¬®¦Ґбвў®¬} Ї®Ё¬ Ґвбп б®ў®ЄгЇ®бвм (б®Ўа ЁҐ,  Ў®а) ҐЄ®в®але
    ®ЎкҐЄв®ў.
ЋЎкҐЄвл, Є®в®алҐ ®Ўа §гов ¬®¦Ґбвў®,  §лў овбп {\it н«Ґ¬Ґв ¬Ё}
Ё«Ё {\it в®зЄ ¬Ё } нв®Ј® ¬®¦Ґбвў .

    {\bf ЏаЁ¬Ґа. }

    Њ®¦Ґбвў  бвг¤Ґв®ў ЈагЇЇ, д Єг«мвҐв , ЁбвЁвгв , Ё в.¤.
\vspace{0.3 cm}

    Њ®¦Ґбвў  ®Ў®§ з овбп Їа®ЇЁбл¬Ё ЎгЄў ¬Ё,   Ёе н«Ґ¬Ґвл - бва®зл¬Ё.
    …б«Ё $a$ Ґбвм н«Ґ¬Ґв
¬®¦Ґбвў  $Ђ$, в® $ \in Ђ$. …б«Ё $b$ Ґ пў«пҐвбп н«Ґ¬Ґв®¬ ¬®¦Ґбвў  $Ђ$,
в® $a\notin Ђ$.

    Њ®¦Ґбвў® Ґ б®¤Ґа¦ йҐҐ Ё ®¤®Ј® н«Ґ¬Ґв ,  §лў Ґвбп Їгбвл¬ Ё
        ®Ў®§ з Ґвбп бЁ¬ў®«®¬ $\emptyset$.

Ќ ЇаЁ¬Ґа, ¬®¦Ґбвў® ¤Ґ©бвўЁвҐ«мле Є®аҐ© га ўҐЁп
$$x^2+1=0$$
Ґбвм Їгбв®Ґ ¬®¦Ґбвў®.

    …б«Ё ¬®¦Ґбвў® $B$ б®бв®Ёв Ё§ з бвЁ н«Ґ¬Ґв®ў ¬®¦Ґбвў  $A$ Ё«Ё
    б®ўЇ ¤ Ґв б Ё¬, в® ¬®¦Ґбвў®
$B$  §лў Ґвбп {\it Ї®¤¬®¦Ґбвў®¬} ¬®¦Ґбвў  $A$ Ё ®Ў®§ з Ґвбп $B\subset A$.

   {\bf ЏаЁ¬Ґа. }

   …б«Ё $Ђ$ -- ¬®¦Ґбвў® ўбҐе бвг¤Ґв®ў ЁбвЁвгвў,   $B$ -- ¬®¦Ґбвў®
    бвг¤Ґв®ў ЇҐаў®ЄгабЁЄ®ў, в® $‚\subset Ђ$.
\vspace{0.3 cm}

    „ў  ¬®¦Ґбвў  $A$ Ё $B$  §лў овбп {\it а ўл¬Ё}, Ґб«Ё ®Ё
    б®бв®пв Ё§ ®¤Ёе Ё вҐе ¦Ґ н«Ґ¬Ґв®ў. ЋЎ®§ з Ґвбп $A=B$.

  {\it ЋЎкҐ¤ЁҐЁҐ¬} ¤ўге ¬®¦Ґбвў $Ђ$ Ё $‚$  §лў Ґвбп ¬®¦Ґбвў® $‘$,
    б®бв®пйҐҐ Ё§ ўбҐе н«Ґ¬Ґв®ў,
ЇаЁ ¤«Ґ¦ йЁе е®вп Ўл ®¤®¬г Ё§ ¤ ле ¬®¦Ґбвў, в® Ґбвм  $‘=Ђ \bigcup ‚$,
Ј¤Ґ  $\bigcup$ -- § з®Є ®ЎкҐ¤ЁҐЁп.

    {\it ЏҐаҐбҐзҐЁҐ¬} ¤ўге ¬®¦Ґбвў $Ђ$ Ё $‚$  §лў Ґвбп ¬®¦Ґбвў® $D$,
    б®бв®пйҐҐ Ё§ ўбҐе н«Ґ¬Ґв®ў,
®¤®ўаҐ¬Ґ® ЇаЁ ¤«Ґ¦ йЁе Є ¦¤®¬г Ё§ ¤ ле ¬®¦Ґбвў $Ђ$ Ё $‚$,
в® Ґбвм $D=A\bigcap ‚$, Ј¤Ґ $\bigcap$ -- § з®Є ЇҐаҐбҐзҐЁп.

   {\it ђ §®бвмо} ¬®¦Ґбвў $Ђ$ Ё $‚$  §лў Ґвбп ¬®¦Ґбвў® $…$,
    б®бв®пйҐҐ Ё§ ўбҐе н«Ґ¬Ґв®ў ¬®¦Ґбвў  $Ђ$,
Є®в®алҐ Ґ ЇаЁ ¤«Ґ¦ в ¬®¦Ґбвўг $‚$, в® Ґбвм $…=Ђ\setminus ‚$.
  ‡ з®Є $\setminus$  §лў Ґвбп backslash.

    {\bf ЏаЁ¬Ґа. }

     „ л ¬®¦Ґбвў  Ђ=\{1;2;3\}, B=\{3;4;5\}.

ЋЎкҐ¤ЁҐЁҐ $A\bigcup B$=\{1;2;3;4;5\}

ЏҐаҐбҐзҐЁҐ $A\bigcap B$=\{3\}

ђ §®бвм    $A\setminus B$=\{1;2\}

ђ §®бвм     $B\setminus A$=\{4;5\}.

\section{„Ґ©бвўЁвҐ«млҐ зЁб«  }

„Ґ©бвўЁвҐ«млҐ (в.Ґ. аҐ «млҐ) зЁб«  ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ
Ё§®Ўа ¦ овбп зЁб«®ў®© Їап¬®© (Ё«Ё зЁб«®ў®© ®бмо), в.Ґ. Їап¬®©,
  Є®в®а®© ўлЎа ®  з «® ®вбзсв , Ї®«®¦ЁвҐ«м®Ґ  Їа ў«ҐЁҐ Ё Ґ¤ЁЁж  ®вбзсв 
„Ґ©бвўЁвҐ«млҐ зЁб«  Ўлў ов

1  вга «мл¬Ё;

2 жҐ«л¬Ё;

3 а жЁ® «мл¬Ё;

4 Ёаа жЁ® «мл¬Ё.


‚ зЁб«Ґ 12.36 ¤ҐбпвЁз п в®зЄ  ®в¤Ґ«пҐв жҐ«го з бвм ®в ¤а®Ў®©.


…б«Ё зЁб«® Ї®«®¦ЁвҐ«м®Ґ Ё г ҐҐ Ґв ¤а®Ў®© з бвЁ, в® в Є®Ґ зЁб«®  §лў ов
{\it  вга «мл¬} Ё ®Ў®§ з ов ЎгЄў®© $n$. Ќ ЇаЁ¬Ґа, 1,2,3,4 Ё в.¤.

—Ёб«  ўЁ¤  $(-n)$, Ј¤Ґ $n$ --  вга «м®Ґ зЁб«®  §лў ов
®ваЁж вҐ«мл¬Ё жҐ«л¬Ё зЁб« ¬Ё.

Њ®¦Ґбвў® зЁбҐ«, б®бв®пйҐҐ Ё§ ўбҐе  вга «мле зЁбҐ«, г«п Ё ўбҐе
®ваЁж вҐ«мле жҐ«ле зЁбҐ«,  §лў Ґвбп ¬®¦Ґбвў®¬ жҐ«ле зЁбҐ«,   б ¬Ё зЁб« 
 §лў овбп {\it жҐ«л¬Ё} зЁб« ¬Ё Ё ®Ў®§ з овбп ЎгЄў®© $z$.

{\it ђ жЁ® «м®Ґ} зЁб«® ¬®¦® ЇаҐ¤бв ўЁвм ў ўЁ¤Ґ ®в®иҐЁп
¤ўге зЁбҐ«, $z_1/n_1$
Ј¤Ґ $z_1$ -- жҐ«®Ґ зЁб«®,   $n_1$-  вга «м®Ґ.  €е ®Ў®§ з ов ЎгЄў®© $q$.


{\it €аа жЁ® «мл¬Ё}  §лў овбп зЁб« , ЇаҐ¤бв ўЁ¬лҐ ў ўЁ¤Ґ ЎҐбЄ®Ґз®©
ҐЇҐаЁ®¤ЁзҐбЄ®© ¤ҐбпвЁз®© ¤а®ЎЁ.
„агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё,  Ёе Ґ«м§п ЇаҐ¤бв ўЁвм ў ўЁ¤Ґ: $z_1/n_1$.


\s{—Ёб«®ўлҐ ¬®¦Ґбвў }

‹оЎго б®ў®ЄгЇ®бвм ¤Ґ©бвўЁвҐ«мле зЁбҐ«  §лў ов {\it зЁб«®ўл¬ ¬®¦Ґбвў®¬}.
‘ ¬® ¬®¦Ґбвў® ¤Ґ©бвўЁвҐ«мле зЁбҐ« ®Ў®§ з ов ЎгЄў®© $R$.
„агЈЁҐ ЇаЁ¬Ґал зЁб«®ўле ¬®¦Ґбвў:

     ) ¬®¦Ґбвў® $R_+$ Ї®«®¦ЁвҐ«мле ¤Ґ©бвўЁвҐ«мле зЁбҐ«;

    Ў) ¬®¦Ґбвў® $R_-$ ®ваЁж вҐ«мле ¤Ґ©бвўЁвҐ«мле зЁбҐ«;

    ў) ¬®¦Ґбвў® $Q_+$ Ї®«®¦ЁвҐ«мле а жЁ® «мле зЁбҐ«;

    Ј) ¬®¦Ґбвў® $Q_-$ ®ваЁж вҐ«мле а жЁ® «мле зЁбҐ«;

    ¤) ¬®¦Ґбвў® $Q$ а жЁ® «мле зЁбҐ«;

    Ґ) ¬®¦Ґбвў® $Z$ жҐ«ле зЁбҐ«;

    ¦) ¬®¦Ґбвў® $N$  вга «мле зЁбҐ«.

—Ёб«®ў®Ґ ¬®¦Ґбвў® $•$  §лў ов ®Ја ЁзҐл¬, Ґб«Ё бгйҐбвўгҐв в Є®Ґ зЁб«® $ $,
зв® ¤«п ўбҐе $|е|\le a$ Ё§ $x\in •$.

{\bf ЏаЁ¬Ґа. }

 Њ®¦Ґбвў® ЇҐаЁ¬Ґва®ў ўлЇгЄ«ле ¬®Ј®гЈ®«мЁЄ®ў, ўЇЁб ле ў ¤ го
®Єаг¦®бвм, ®Ја ЁзҐ® (б¬. ђЁб.~1).

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(120,140){\special{em:graph F11.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}


…б«Ё зЁб«® $ $ ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв ¬®¦Ґбвўг $•$, в® ЇЁигв: $ \in •$,
  Ґб«Ё Ґ ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв ¬®¦Ґбвўг $•$, в® $ \notin X$.

{\bf ЏаЁ¬Ґа. }

  $5\in N$, $4.5\notin N$
\vspace{0.3 cm}

—Ёб«®ў®Ґ ¬®¦Ґбвў® $•$  §лў Ґвбп з бвмо Ё«Ё ¬®¦Ґбвў®¬ зЁб«®ў®Ј®
¬®¦Ґбвў  $Y$
 н«Ґ¬Ґв Ё§ $•$   ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв $Y$ . ‚ нв®¬ б«гз Ґ ЇЁигв $X\subset Y$.

{\bf ЏаЁ¬Ґа. }

$X=[4,+\infty)$,  $Y=[0,+\infty)$, в® $X\subset Y$.
\vspace{0.3 cm}

—Ёб«®ўлҐ ¬®¦Ґбвў  б®бв®пйЁҐ Ё§ ҐбЄ®«мЄЁе зЁбҐ«  §лў ов {\it Є®Ґзл¬Ё}.

Ќ ЇаЁ¬Ґа, Є®Ґз® ¬®¦Ґбвў®  вга «мле зЁбҐ«, Єў ¤а в Є®в®але ¬ҐмиҐ 20,
®® б®бв®Ёв Ё§ 1,2,3,4.

Љ Є®Ґзл¬ ¬®¦Ґбвў ¬ ®в®бпвбп ¬®¦Ґбвў , б®бв®пйЁҐ «Ёим Ё§ ®¤®Ј® зЁб« ,
 ЇаЁ¬Ґа, $\{4\}$,   в Є¦Ґ Їгбв®Ґ ¬®¦Ґбвў® $\empty$.


Ћ¤Ё Ё§ ЇаЁ¬Ґа®ў ¬®¦Ґбвў пў«пҐвбп  {\it ЁвҐаў «}\footnote{€®Ј¤  ў¬Ґбв®
Ї®пвЁп "ЁвҐаў « " ЁбЇ®«м§гов Ї®пвЁҐ "Їа®¬Ґ¦гв®Є". ‘¬.,  ЇаЁ¬Ґа,
ѓ.Њ.”ЁевҐЈ®«мж. Љгаб ¤ЁддҐаҐжЁ «м®Ј® Ё ЁвҐЈа «м®Ј® ЁбзЁб«ҐЁп, в.1
‘.93, 1997Ј. }.

Џгбвм $е$ -- ¤Ґ©бвўЁвҐ«м®Ґ ЇҐаҐ¬Ґ®Ґ.
Њ®¦Ґбвў® ўбҐе § зҐЁ© $е$ (в®зҐЄ), г¤®ў«Ґвў®апойЁе гб«®ўЁп¬:

    1. $a<x<b$ Ґбвм ®Ја ЁзҐл© ®вЄалвл© ЁвҐаў « $( ,ў)$;

    2. $a<x$ Ґбвм Ґ®Ја ЁзҐл© ®вЄалвл© ЁвҐаў « $(a,+\infty)$;

    3. $x>a$ Ґбвм Ґ®Ја ЁзҐл© ®вЄалвл© ЁвҐаў « $(-\infty,a)$;

    4. $a\le x\le b$ Ґбвм ®Ја ЁзҐл© § ¬Єгвл© ЁвҐаў « $[a,b]$;

‡ ¬Єгвл© ЁвҐаў «  §лў ов з бв® {\it ®ваҐ§Є®¬}.
Њ®¦Ґбвў® в®зҐЄ $е$
г¤®ў«Ґвў®апойЁе гб«®ўЁп¬:
$$a\le x<b;$$
$$ a<x\le b;$$
$$ x\ge a;$$
$$x\le b$$
 §лў ов {\it Ї®«г®вЄалв ¬Ё ЁвҐаў « ¬Ё}.

—Ёб«®ўлҐ ¬®¦Ґбвў  з бв® § ¤ ов, гЄ §лў п ®Ўйго д®а¬г ўе®¤пйЁе ў Ёе
зЁбҐ« Ё«Ё ®ЎйҐҐ бў®©бвў® нвЁе зЁбҐ«. ‚ нв®¬ б«гз Ґ ¬®¦Ґбвў®
§ ЇЁблў ов ў ўЁ¤Ґ: $\{x|F(x)\}$, Ј¤Ґ $е$ -- ®ЎйЁ© н«Ґ¬Ґв ¬®¦Ґбвў , $F(x)$ --
бў®©бвў®, ЇаЁбгйҐҐ ўбҐ¬ н«Ґ¬Ґв ¬ ¬®¦Ґбвў  Ё в®«мЄ® Ё¬.

{\bf ЏаЁ¬Ґа. }

Њ®¦Ґбвў® $\{x|2\le x<10\}$ б®бв®Ёв Ё§ ¤Ґ©бвўЁвҐ«мле зЁбҐ« $x$
г¤®ў«Ґвў®апойЁе Ґа ўҐбвўг $2\le x<10$.

\s{ђҐиҐЁҐ Єў ¤а в®Ј® га ўҐЁп   ђ‘}

€бЇ®«м§®ў ЁҐ ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе Ї ЄҐв®ў (баҐ¤Ё Є®в®але
 ЁЎ®«ҐҐ Їа®бв®© MathCad) ў "«®Ў" з бв® ¬®¦Ґв
 ЇаЁў®¤Ёвм Є ®иЁЎЄ ¬. ќв® бўп§ ® б вҐ¬, зв® ¤Ґ©бвўЁвҐ«млҐ зЁб« 
ЇаҐ¤бв ў«повбп ў ўЁ¤Ґ Є®Ґз®Ј®  Ў®а  жЁда ( ЇаЁ¬Ґа, ¤«п MathCad' 
ЇаЁ ®Ўлз®©  бва®©ЄЁ нв® 15 § з йЁе жЁда).

Џ®нв®¬г ЇҐаҐе®¤ ®в "Њ вҐ¬ вЁЄЁ"
Є "‚лзЁб«ЁвҐ«м®© ¬ вҐ¬ вЁЄҐ" ваҐЎгҐв ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®©  ЄЄга в®бвЁ Ё ўЁ¬ Ёп.

‚ Є зҐбвўҐ ЇаЁ¬Ґа  а бб¬®ваЁ¬ аҐиҐЁҐ ®Ўлз®Ј® Єў ¤а в®Ј® га ўҐЁп
$$ax^2+bx+c=0,$$
Є®Ј¤  ¤ЁбЄаЁ¬Ё в Єў ¤а в®Ј® га ўҐЁп $b^2-4ac$  Ї®«®¦ЁвҐ«Ґ.

•аҐбв®¬ вЁ© п д®а¬г«  аҐиҐЁп нв®Ј® га ўҐЁп, Є Є Ё§ўҐбв®, ўлЈ«п¤Ґв ў
б«Ґ¤гойҐ¬ ўЁ¤Ґ
$$x_{1}=\frac{-b +\sqrt{b^2-4ac}}{2a};$$
$$x_{2}=\frac{-b -\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Ќ® ЇаЁ аҐиҐЁп Єў ¤а в®Ј® га ўҐЁп   PC ¬®Јгв ў®§ЁЄ вм
а §«ЁзлҐ "Ї Є®бвЁ", ў з бв®бвЁ, ЇаЁ $|b^2/4ac| \gg 1$.
„«п Mathcad'  нвЁ "Ї Є®бвЁ" ў®§ЁЄ ов, ў з бв®бвЁ, ЇаЁ $|b^2/4ac| > 10^{16}$.

ђ бб¬®ваЁ¬ ¤ў  б«гз п Ї®«®¦ЁвҐ«мле Ё ®ваЁж вҐ«мле § зҐЁ© $b$.

‚ ЇҐаў®¬ б«гз Ґ $(b>0)$ ¤«п $x_1$ Ё ¤«п $x_2$ б гзҐв®¬ $|b^2/4ac| \gg 1$
¤«п $x_1$ Ё $x_2$ Ї®«гз Ґ¬ ЇаЁЎ«Ё¦ҐлҐ ўла ¦ҐЁп
$$x_{1}\approx\frac{-b+b}{2a}=0;$$
$$x_{2}\approx\frac{-b -b}{2a}=-\frac{b}{a}.$$
Ћ¤ Є®, ®зҐўЁ¤®, зв® $x_1$ ¤®бв в®з® ¬ «®, ® Ґ ®Ўа й Ґвбп ў ®«м.

—в®Ўл Ё§ЎҐ¦ вм ®иЁЎЄЁ ®Ўа йҐЁп ў ®«м $x_1$, ў®§ЁЄ ойҐ© ў аҐ§г«мв вҐ ®ЄагЈ«ҐЁп,
Ґ®Ўе®¤Ё¬® ў ўла ¦ҐЁЁ ¤«п $x_1$ "§ Ј вм" Ёаа жЁ® «м®бвм ў § ¬Ґ вҐ«м,
¤®¬®¦Ёў зЁб«ЁвҐ«м Ё § ¬Ґ вҐ«м   б®Їап¦ҐлҐ ўла ¦ҐЁп.
$$x_{1}=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(b+\sqrt{b^2-4ac})}
{2a(b+\sqrt{b^2-4ac})}=-\frac{2c}{b+\sqrt{b^2-4ac}}.$$
’®Ј¤  ЇаЁ $|b^2/4ac| \gg 1$ ¤«п $x_1$ Ї®«гз Ґ¬
$$x_{1}\approx -\frac{2c}{b+b}=-\frac{c}{b}.$$
Џ®«гз Ґ¬®Ґ § зҐЁҐ ¤«п $x_1$ ¬ «®, ® Ґ ®Ўа й Ґвбп ў ®«м.

€в Є, ЇаЁ $|b^2/4ac| \gg 1$ Ё $b>0$ аҐиҐЁп Єў ¤а в®Ј® га ўҐЁп б Ї®¬®ймо PC
б«Ґ¤гҐв  е®¤Ёвм Ї® д®а¬г« ¬
$$x_{1}=-\frac{2c}{b+\sqrt{b^2-4ac}}.$$
$$x_{2}=\frac{-b -\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

ЏаЁ $|b^2/4ac| \gg 1$ Ё $b<0$ б«Ґ¤гҐв Ё§¬ҐЁвм д®а¬г«г ¤«п  е®¦¤ҐЁп $x_2$
Ё ў нв®¬ б«гз Ґ Є®аЁ Єў ¤а в®Ј® га ўҐЁп б«Ґ¤гҐв ўлзЁб«пвм Ї® д®а¬г« ¬:
$$x_{1}=\frac{-b +\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x_{2}=\frac{2c}{\sqrt{b^2-4ac}-b}$$



\s{Џ®пвЁҐ дгЄжЁЁ. Ћб®ўлҐ бў®©бвў  дгЄжЁ©}

{\it Џ®бв®п®©} ўҐ«ЁзЁ®©  §лў Ґвбп ўҐ«ЁзЁ , б®еа пой п
®¤® Ё в®¦Ґ § зҐЁҐ. Ќ ЇаЁ¬Ґа,  ®в®иҐЁҐ ¤«Ёл ®Єаг¦®бвЁ Є ҐҐ ¤Ё ¬Ґваг
Ґбвм Ї®бв®п п ўҐ«ЁзЁ , а ў п $\pi$.

…б«Ё ўҐ«ЁзЁ  б®еа пҐв Ї®бв®п®Ґ § зҐЁҐ «Ёим ў гб«®ўЁпе ҐЄ®в®а®Ј®
Їа®жҐбб , в® ў  нв®¬ б«гз Ґ ®   §лў Ґвбп {\it Ї а ¬Ґва®¬}.

{\it ЏҐаҐ¬Ґ®©}  §лў Ґвбп ўҐ«ЁзЁ , Є®в®а п ¬®¦Ґв ЇаЁЁ¬ вм а §«ЁзлҐ
зЁб«®ўлҐ § зҐЁп. Ќ ЇаЁ¬Ґа, ЇаЁ а ў®¬Ґа®¬ ¤ўЁ¦ҐЁЁ $S=vt$, Ј¤Ґ Їгвм
$S$ Ё ўаҐ¬п $t$ -- ЇҐаҐ¬ҐлҐ ўҐ«ЁзЁл,   $v$ -- Ї а ¬Ґва.

ЏҐаҐ©¤Ґ¬ Є Ї®пвЁо дгЄжЁЁ.

{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ}. {\it …б«Ё Є ¦¤®¬г н«Ґ¬Ґвг $x$ ¬®¦Ґбвў  $X$ $(x\in X)$
бв ўЁвбп ў б®®вўҐвбвўЁҐ ўЇ®«Ґ
®ЇаҐ¤Ґ«Ґл© н«Ґ¬Ґв $y$ ¬®¦Ґбвў  $Y$, $(y\in Y)$
в® Ј®ў®апв, зв®   ¬®¦ҐбвўҐ $X$ § ¤   {\bf дгЄжЁп} $y=f(x)$}.

ЏаЁ нв®¬ $x$ --  §лў Ґвбп {\it Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®©}
(Ё«Ё {\it  аЈг¬Ґв®¬}, $y$ -- {\it § ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®©},   ЎгЄў 
$f$ -- бЁ¬ў®« § Є®  б®®вўҐвбвўЁп.

Њ®¦Ґбвў® $X$  §лў Ґвбп {\it ®Ў« бвмо ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп} (Ё«Ё {\it бгйҐбвў®ў Ёп})
 дгЄжЁЁ,   ¬®¦Ґбвў® $Y$ -- {\it ®Ў« бвмо § зҐЁ©} дгЄжЁЁ.

Ќ ЇаЁ¬Ґа, ®Ў« бвм ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп дгЄжЁЁ $y=x^2+\sqrt{10-x}$ $(-\infty,10]$.

{\bf ‘Ї®б®Ўл § ¤ Ёп дгЄжЁ©.}

 ) {\it Ђ «ЁвЁзҐбЄЁ© бЇ®б®Ў,} Ґб«Ё дгЄжЁп § ¤   д®а¬г«®© ўЁ¤  $y=f(x)$.
’ Є, дгЄжЁп  $y=x^2+\sqrt{10-x}$ § ¤     «ЁвЁзҐбЄЁ.

Ў)  {\it ’ Ў«Ёзл© бЇ®б®Ў}, Є®Ј¤  дгЄжЁп § ¤   ў ўЁ¤Ґ в Ў«Ёж, б®¤Ґа¦ йЁе
§ зҐЁп  аЈг¬Ґв  $x$ Ё б®вўҐвбвўгойЁҐ § зҐЁп дгЄжЁЁ $f(x)$,  ЇаЁ¬Ґа,
Ё§ўҐбвлҐ в Ў«Ёжл Ѓа ¤Ёб .

ў) {\it  ѓа дЁзҐбЄЁ© бЇ®б®Ў}.
\vspace{0.3 cm}

ђ бб¬®ваЁ¬ ®б®ўлҐ бў®©бвў  дгЄжЁ©.

{\bf 1. —Ґв®бвм Ё ҐзҐв®бвм.} ”гЄжЁп $y=f(x)$  §лў Ґвбп {\it  зҐв®©},
Ґб«Ё $f(-x)=f(x)$ Ё {\it ҐзҐв®©}, Ґб«Ё $f(-x)=-f(x)$. ‚ Їа®вЁў®¬ б«гз Ґ
дгЄжЁп  §лў Ґвбп {\it  ®ЎиҐЈ® ўЁ¤ }.

Ќ ЇаЁ¬Ґа, дгЄжЁп $y=x^2$ пў«пҐвбп зҐв®©,   дгЄжЁп $y=x^3$ -- ҐзҐв®©.
”гЄжЁп $y=x^2+x^3$ пў«пҐвбп дгЄжЁҐ© ®ЎйҐЈ® ўЁ¤ .

ѓа дЁЄ зҐв®© дгЄжЁЁ бЁ¬¬ҐваЁзҐ ®в®бЁвҐ«м® ®бЁ ®а¤Ё в,   Ја дЁЄ
ҐзҐв®© дгЄжЁЁ бЁ¬¬ҐваЁзҐ ®в®бЁвҐ«м®  з «  Є®®а¤Ё в.

{\bf 2. Њ®®в®®бвм.} ”гЄжЁп $y=f(x)$  §лў Ґвбп {\it ¬®®в®® ў®§а бв ойҐ©
(гЎлў ойҐ©)}   Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$, Ґб«Ё ¤«п «оЎле $x_1$, $x_2$ $(x_1,x_2\in X)$ Ё
$x_2>x_1$ ўлЇ®«пҐвбп Ґа ўҐбвў® $f(x_2)>f(x_1)$ $(f(x_2)<f(x_1))$.
Ђ Ґб«Ё ўлЇ®«пҐвбп Ґа ўҐбвў® $f(x_2)\ge f(x_1)$ ($f(x_2) \le f(x_1)$), в®
дгЄжЁп  §лў Ґвбп ҐгЎлў ойҐ© (Ґў®§а бв ойҐ©).

{\bf 3. ЋЈа ЁзҐ®бвм.} ”гЄжЁп $y=f(x)$  §лў Ґвбп {\it ®Ја ЁзҐ®©}
  Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$, Ґб«Ё бгйҐбвўгҐв в Є®Ґ Ї®«®¦ЁвҐ«м®Ґ зЁб«® $M>0$,
зв® $|f(x)|\le M$ ¤«п «оЎ®Ј® $x\in X$.

Ќ ЇаЁ¬Ґа, дгЄжЁп $y=\sin x$ ®Ја ЁзҐ    ўбҐ© зЁб«®ў®© ®бЁ, в Є Є Є
$|\sin x|\le 1$ ¤«п «оЎ®Ј® $x\in R$.

{\bf 4. ЏҐаЁ®¤Ёз®бвм.} ”гЄжЁп $y=f(x)$  §лў Ґвбп {\it ЇҐаЁ®¤ЁзҐбЄ®©}
б ЇҐаЁ®¤®¬ $T\ne 0$   Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$, ¤«п «оЎ®Ј® $x\in X$ ўлЇ®«пҐвбп
а ўҐбвў® $f(x+T)=f(x)$.

\vspace{0.3 cm}


\s{Љ« ббЁдЁЄ жЁп дгЄжЁ©}

”гЄжЁп  §лў Ґвбп {\it пў®©} (Ё«Ё {\it § ¤ ®© ў пў®¬ ўЁ¤Ґ}),
Ґб«Ё ®  § ¤   д®а¬г«®©, ў Є®в®а®© Їа ў п
з бвм Ґ б®¤Ґа¦Ёв § ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®©;  ЇаЁ¬Ґа, дгЄжЁп $y=x^3+7x+5$.

”гЄжЁп $y$  аЈг¬Ґв  $x$  §лў Ґвбп {\it Ґпў®©}
(Ё«Ё {\it § ¤ ®© ў Ґпў®¬ ўЁ¤Ґ}),
Ґб«Ё ®  § ¤   га ўҐЁҐ¬ $F(x,y)=0$, Ґ а §аҐиҐл¬ ®в®бЁвҐ«м®
§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®©. Ќ ЇаЁ¬Ґа, дгЄжЁп $y(y\ge 0)$, § ¤  п га ўҐЁ¬
$x^3+y^2-x=0$. Ћв¬ҐвЁ¬, зв® Ї®б«Ґ¤ҐҐ га ўҐЁҐ § ¤ Ґв ¤ўҐ дгЄжЁЁ,
$y=\sqrt{x-x^3}$ ЇаЁ $y\ge 0$, Ё $y=-\sqrt{x-x^3}$ ЇаЁ $y<0$.

{\bf ЋЎа в п дгЄжЁп.} Џгбвм $y=f(x)$ Ґбвм дгЄжЁп ®в Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®©
$x$, ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®©   Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$ б ®Ў« бвмо § зҐЁ© $Y$.
Џ®бв ўЁ¬ ў б®®вўҐвбвўЁҐ Є ¦¤®¬г $y\in Y$ {\it Ґ¤ЁбвўҐ®Ґ} § зҐЁҐ $x\in X$,
ЇаЁ Є®в®а®¬ $f(x)=y$. ’®Ј¤  Ї®«гзҐ п дгЄжЁп $x=g(y)$, ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ п  
Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $Y$ б ®Ў« бвмо § зҐЁ© $X$  §лў Ґвбп {\it ®Ўа в®©} Ї® ®в®иҐЁо
Є дгЄжЁЁ $y=f(x)$.

Ќ ЇаЁ¬Ґа, ¤«п дгЄжЁЁ $y=a^x$ ®Ўа в®© Ўг¤Ґв дгЄжЁп $x=\log_ax$.

{\bf ‘«®¦ п дгЄжЁп.} Џгбвм дгЄжЁп $y=f(u)$ Ґбвм дгЄжЁп ®в ЇҐаҐ¬Ґ®© $u$,
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®©   ¬®¦ҐбвўҐ $U$ б ®Ў« бвмо § зҐЁ© $Y$,   ЇҐаҐ¬Ґ п $u$
ў бў®о ®зҐаҐ¤м пў«пҐвбп дгЄжЁҐ© $u=\f(x)$ ®в ЇҐаҐ¬Ґ®© $x$, ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®©
  ¬®¦ҐбвўҐ $X$ б ®Ў« бвмо § зҐЁ© $U$. ’®Ј¤  § ¤  п   ¬®¦ҐбвўҐ $X$
дгЄжЁп $y=[\f(x)]$  §лў Ґвбп {\it б«®¦®©} дгЄжЁҐ©.

Ќ ЇаЁ¬Ґа, $y=\sin x^5$ -- б«®¦ п дгЄжЁп, в Є Є Є ҐҐ ¬®¦® ЇаҐ¤бв ўЁвм ў ўЁ¤Ґ
$y=\sin u$, Ј¤Ґ $u=x^5$.

{\bf Џ®пвЁҐ н«Ґ¬Ґв а®© дгЄжЁЁ.} {\it Ћб®ўл¬Ё н«Ґ¬Ґв ал¬Ё дгЄжЁп¬Ё}
пў«повбп

 ) бвҐЇҐ п дгЄжЁп $y=x^r$, $r\in R$;

Ў) Ї®Є § вҐ«м п дгЄжЁп $y=a^x$ $(a>0,a\ne 1)$;

ў) «®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ п дгЄжЁп $y=\log_ax$ $(a>0, a\ne 1)$;

Ј) ваЁЈ®®¬ҐваЁзҐбЄЁҐ дгЄжЁЁ $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=\tg x$, $y=\ctg x$;

¤) ®Ўа влҐ ваЁЈ®®¬ҐваЁзҐбЄЁҐ дгЄжЁЁ
$y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=\arctg x$, $y=\arcctg x$.

€§ ®б®ўле н«Ґ¬Ґв але дгЄжЁ© ®ўлҐ {\it н«Ґ¬Ґв алҐ} дгЄжЁЁ
¬®Јгв Ўлвм Ї®«гзҐл ЇаЁ Ї®¬®йЁ:  )  «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁе ¤Ґ©бвўЁ©; Ў) ®ЇҐа жЁ©
®Ўа §®ў Ёп б«®¦ле дгЄжЁ©.

{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ.} {\it ”гЄжЁЁ, Ї®бва®ҐлҐ Ё§ ®б®ўле н«Ґ¬Ґв але
дгЄжЁ© б Ї®¬®ймо Є®Ґз®Ј® зЁб«   «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁе ¤Ґ©бвўЁ© Ё Є®Ґз®Ј®
зЁб«  ®ЇҐа жЁ© ®Ўа §®ў Ёп б«®¦®© дгЄжЁЁ,  §лў овбп {\bf н«Ґ¬Ґв ал¬Ё}}.

Ќ ЇаЁ¬Ґа, дгЄжЁ©
$$y=\frac{\sqrt{x}+\arcsin x^5}{\ln^3x+x^3+x^7}$$
пў«пҐвбп н«Ґ¬Ґв а®©.

ЏаЁ¬Ґа®¬ Ґн«Ґ¬Ґв а®© дгЄжЁЁ пў«пҐвбп дгЄжЁп $y=\sign x$.



\s{ЏаҐ¤Ґ« дгЄжЁЁ Ё ҐЈ® бў®©бвў }

{\bf  ЏаҐ¤Ґ« дгЄжЁЁ ў ЎҐбЄ®Ґз®бвЁ.}

{\bf  ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ.}
—Ёб«® $A$  §лў Ґвбп ЇаҐ¤Ґ«®¬ {\bf дгЄжЁЁ $f(x)$ ЇаЁ $x$, бваҐ¬пйҐ¬бп
Є ЎҐбЄ®Ґз®бвЁ},
 Ґб«Ё ¤«п
«оЎ®Ј® бЄ®«м гЈ®¤® ¬ «®Ј® Ї®«®¦ЁвҐ«м®Ј® зЁб«  $\e>0$,
 ©¤Ґвбп в Є®Ґ Ї®«®¦ЁвҐ«м®Ґ зЁб«® $S>0$, зв® ¤«п ўбҐе $x$
г¤®ў«Ґвў®апойЁе гб«®ўЁо
$|x|>S$ ўлЇ®«пҐвбп Ґа ўҐбвў® $|f(x)-A|<\e$.

ќв®в ЇаҐ¤Ґ« дгЄжЁЁ ®Ў®§ з Ґвбп б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬:
$$\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(x)=A}$$
Ё«Ё $f(x)\to A$ ЇаЁ $x\to\infty$.

€бЇ®«м§гп «®ЈЁзҐбЄЁҐ бЁ¬ў®«л: Єў в®а ®Ўй®бвЁ $\forall$ (ў¬Ґбв® б«®ў 
"¤«п «оЎ®Ј®") Ё Єў в®а бгйҐбвў®ў Ёп $\exists$ (ў¬Ґбв® б«®ў  " ©¤Ґвбп"),
бЁ¬ў®« а ў®бЁ«м®бвЁ $\Longleftrightarrow$, ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ ЇаҐ¤Ґ«  ¬®¦®
§ ЇЁб вм ў б«Ґ¤гойҐ¬ ўЁ¤Ґ:

$$\left(A=\lim_{x\to \infty}f(x)\right)\Longleftrightarrow
(\forall \e>0) (\exists S>0)(\forall x:|x|>S) |f(x)-A|<\e.$$



{\bf  ЏаҐ¤Ґ« дгЄжЁЁ ў в®зЄҐ.} Џгбвм дгЄжЁп $y=f(x)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ  ў ҐЄ®в®а®©
®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $a$, Єа®¬Ґ, Ўлвм ¬®¦Ґв, б ¬®© в®зЄЁ $a$.

{\bf  ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ.}
—Ёб«® $A$  §лў Ґвбп ЇаҐ¤Ґ«®¬ {\bf дгЄжЁЁ $f(x)$ ЇаЁ $x$, бваҐ¬пйҐ¬бп Є
$a$ (Ё«Ё ў в®зЄҐ $a$),} Ґб«Ё ¤«п
«оЎ®Ј® бЄ®«м гЈ®¤® ¬ «®Ј® Ї®«®¦ЁвҐ«м®Ј® зЁб«  $\e>0$,
 ©¤Ґвбп в Є®Ґ Ї®«®¦ЁвҐ«м®Ґ зЁб«® $\delta>0$, зв® ¤«п ўбҐе $x$,
   г¤®ў«Ґвў®апойЁе гб«®ўЁо $0<|x-a|<\delta$ ўлЇ®«пҐвбп Ґа ўҐбвў®
$|f(x)-A|<\e$. “б«®ўЁҐ  $0<|x-a|$  ®§ з Ґв, зв® $x\ne 0$.

ЏаҐ¤Ґ« дгЄжЁЁ ®Ў®§ з Ґвбп б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬:
$$\lim_{x\to a}f(x)=A$$
Ё«Ё $f(x)\to A$ ЇаЁ $x\to a$.


‘ Ї®¬®ймо «®ЈЁзҐбЄЁе бЁ¬ў®«®ў ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ Ё¬ҐҐв ўЁ¤:

$$\left(A=\lim_{x\to a}f(x)\right)\Longleftrightarrow
(\forall \e>0) (\exists \de>0)(\forall x:0<|x-a|<\de) |f(x)-A|<\e.$$



{\bf  Ћ¤®бв®а®ЁҐ ЇаҐ¤Ґ«л.}
…б«Ё $x>a$ Ё $x\to a$, в® гЇ®ваҐЎ«пов § ЇЁбм $x\to a+0$.
…б«Ё $x<a$ Ё $x\to a$, в® гЇ®ваҐЎ«пов § ЇЁбм $x\to a-0$.

‚ла ¦ҐЁп $\di{\lim_{x\to a+0}f(x)}$ Ё $\di{\lim_{x\to a-0}f(x)}$
 §лў овбп б®®вўҐвбвўҐ®
ЇаҐ¤Ґ« ¬Ё дгЄжЁЁ $f(x)$ ў в®зЄҐ $a$ бЇа ў  Ё б«Ґў .


‘ Ї®¬®ймо «®ЈЁзҐбЄЁе бЁ¬ў®«®ў нвЁ ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп Ё¬ҐҐв ўЁ¤:

$$\left(A_+=\lim_{x\to a+0}f(x)\right)\!\Longleftrightarrow\!
(\forall \e>0) (\exists \de>0)(\forall x:0<x-a<\de) |f(x)-A_+|<\e.$$

$$\left(A_-=\lim_{x\to a-0}f(x)\right)\!\Longleftrightarrow\!
(\forall \e>0) (\exists \de>0)(\forall x:0<a-x<\de) |f(x)-A_-|<\e.$$



…б«Ё бгйҐбвўгҐв ЇаҐ¤Ґ« $\di{\lim_{x\to a}f(x)}$, в® бгйҐбвўгов
ЇаҐ¤Ґ«л $\di{\lim_{x\to a+0}f(x)}$ Ё $\di{\lim_{x\to a-0}f(x)}$ Ё
$$\lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0} f(x)=\lim_{x\to a} f(x).$$
ќв® а ўҐбвў® ўлЇ®«пҐвбп в Є¦Ґ, Ґб«Ё ЇаҐ¤Ґ«л б«Ґў  Ё бЇа ў  а ўл.




\s{’Ґ®аҐ¬л ® ЇаҐ¤Ґ« е}

1. ЏаҐ¤Ґ« бг¬¬л ¤ўге дгЄжЁ© а ўҐ бг¬¬Ґ ЇаҐ¤Ґ«®ў нвЁе дгЄжЁ©,
Ґб«Ё вҐ бгйҐбвўгов, в® Ґбвм

$$\lim_{x\to x_0}[f(x)+\psi(x)]=A+B,$$
Ј¤Ґ $A=\di{\lim_{x\to x_0}f(x)}$, $B=\di{\lim_{x\to x_0}\psi(x)}.$

2. ЏаҐ¤Ґ« Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп ¤ўге дгЄжЁ© а ўҐ Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁо ЇаҐ¤Ґ«®ў нвЁе дгЄжЁ©.

$$\lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot\psi(x)]=A\cdot B.$$

3. ЏаҐ¤Ґ« з бв®Ј® ¤ўге дгЄжЁ© а ўҐ з бв®¬г ЇаҐ¤Ґ«®ў нвЁе дгЄжЁ©.
$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{\psi(x)}=\frac{A}{B},$$
ЇаЁзҐ¬ $B\ne 0$.

4. …б«Ё,$$\lim_{u\to u_0}f(u)=A;$$ $$\lim_{x\to x_0}\psi(x)=B,$$
в® ЇаҐ¤Ґ« б«®¦®© дгЄжЁЁ
$$\lim_{x\to x_0}f[\psi(x)]=A.$$


{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\di{\lim_{x\to 5}\frac{6x+10}{3x+5}}$.

’ Є Є Є ЇаЁ $x\to 5$ зЁб«ЁвҐ«м ¤а®ЎЁ бваҐ¬Ёвбп Є зЁб«г $6\cdot 5+10=40$,
  § ¬Ґ вҐ«м -- Є зЁб«г $3\cdot 5+5=20$, в®
$\di{\lim_{x\to 5}\frac{6x+10}{3x+5}}=\di{\frac{40}{20}}=2$.
\vspace{0.3 cm}

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ«
$\di{\lim_{x\to \infty}\frac{3x+\sin x}{x-\cos x}}$.

—Ёб«ЁвҐ«м Ё § ¬Ґ вҐ«м  Ґ®Ја ЁзҐ® ў®§а бв ов ЇаЁ $x\to \infty$.
‚ в Є®¬ б«гз Ґ Ј®ў®апв, зв® Ё¬ҐҐв ¬Ґбв® Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®бвм ўЁ¤ 
$\di{\left[\frac{\infty}{\infty}\right]}$.
ђ §¤Ґ«Ё¬ зЁб«ЁвҐ«м Ё § ¬Ґ вҐ«м   $x$. Џ®«гзЁ¬
$$\di{\lim_{x\to \infty}\frac{3x+\sin x}{x-\cos x}}=
\di{\lim_{x\to \infty}\frac{3+\sin x/x}{1-\cos x/x}}=3,$$
в Є Є Є $\di{\lim_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}}=
\di{\lim_{x\to \infty}\frac{\cos x}{x}}=0$.
\vspace{0.3 cm}

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ«
$\di{\lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x^2-5x}}$.

—Ёб«ЁвҐ«м Ё § ¬Ґ вҐ«м  ¤а®ЎЁ бваҐ¬пвбп Є $0$ ЇаЁ $x\to 5$.
‚ в Є®¬ б«гз Ґ Ј®ў®апв, зв® Ё¬ҐҐв ¬Ґбв® Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®бвм ўЁ¤ 
$\di{\left[\frac{0}{0}\right]}$. ЏаҐ®Ўа §гҐ¬ ¤а®Ўм
$$\frac{x^2-25}{x^2-5x}=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x-5)}=\frac{x+5}{x},$$
в Є Є Є $x\ne 5$. Џ®нв®¬г
$$\di{\lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x^2-5x}}=
\di{\lim_{x\to 5}\frac{x+5}{x}}=2.$$
\vspace{0.3 cm}

ЏаЁ ўлзЁб«ҐЁЁ ЇаҐ¤Ґ«®ў, б®¤Ґа¦ йЁе Ёаа жЁ® «млҐ ўла ¦ҐЁп, з бв®
ЁбЇ®«м§говбп б«Ґ¤гойЁҐ ЇаЁҐ¬л:

 ) ўўҐ¤ҐЁҐ ®ў®© ЇҐаҐ¬Ґ®© ¤«п Ї®«гзҐЁп а жЁ® «м®Ј® ўла ¦ҐЁп;

Ў) ЇҐаҐў®¤ Ёаа жЁ® «м®бвЁ Ё§ § ¬Ґ вҐ«п ў зЁб«ЁвҐ«м Ё  ®Ў®а®в.

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ«
$\di{\lim_{x\to 81}\frac{3-\sqrt[4]{x}}{9-\sqrt{x}}}$.

—Ёб«ЁвҐ«м Ё § ¬Ґ вҐ«м  ¤а®ЎЁ бваҐ¬пвбп Є $0$ ЇаЁ $x\to 81$.
‚ нв®¬ б«гз Ґ  Ё¬ҐҐв ¬Ґбв® Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®бвм ўЁ¤ 
$\di{\left[\frac{0}{0}\right]}$.

Џгбвм $t=\sqrt[4]{x}$. ’®Ј¤ 
$$\di{\lim_{x\to 81}\frac{3-\sqrt[4]{x}}{9-\sqrt{x}}}=
\di{\lim_{t\to 3}\frac{3-t}{9-t^2}}=
\di{\lim_{t\to 3}\frac{1}{3+t}}=\frac{1}{6}.$$
\vspace{0.3 cm}


{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ«
$\di{\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}}$.

—Ёб«ЁвҐ«м Ё § ¬Ґ вҐ«м  ¤а®ЎЁ бваҐ¬пвбп Є $0$ ЇаЁ $x\to 0$.
‚ нв®¬ б«гз Ґ  Ё¬ҐҐв ¬Ґбв® Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®бвм ўЁ¤ 
$\di{\left[\frac{0}{0}\right]}$.

“¬®¦Ё¬ зЁб«ЁвҐ«м Ё § ¬Ґ вҐ«м ¤а®ЎЁ   бг¬¬г $\sqrt{x+4}+2$.
’®Ј¤ 
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=
\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2}=$$
$$=\lim_{x\to 0}\frac{x+4-4}{\sqrt{x+4}+2}=
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{1}{4}.$$
\vspace{0.3 cm}

{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ  ЇаҐ¤Ґ«л дгЄжЁЁ
$\di{f(x)=\frac{1}{x+5^{1/(x-5)}}}$ б«Ґў  Ё бЇа ў  ЇаЁ $x\to 5$.

…б«Ё $x\to 5-0$, в® $\di{\frac{1}{x-5}}\to -\infty$ Ё
$\di{5^{\frac{1}{x-5}}}\to 0$.
‘«Ґ¤®ў вҐ«м® $\di{\lim_{x\to 5-0}f(x)}=\frac{1}{5}$.

…б«Ё $x\to 5+0$, в® $\di{\frac{1}{x-5}}\to +\infty$ Ё
$\di{5^{\frac{1}{x-5}}}\to +\infty$.
‘«Ґ¤®ў вҐ«м® $\di{\lim_{x\to 5-0}f(x)=0}$.
\vspace{0.3 cm}




\s{—Ёб«®ў п Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвм. ЏаҐ¤Ґ« зЁб«®ў®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвЁ}

{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ.} …б«Ё  Є ¦¤®¬г  вга «м®¬г зЁб«г $n$
Ї®бв ў«Ґ® ў б®®вўҐвбвўЁҐ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®Ґ зЁб«® $a_n$, в® Ј®ў®апв,
зв® § ¤   зЁб«®ў п Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвм ${a_n}$
$$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$$

„агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё зЁб«®ў п Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвм - нв® дгЄжЁп
 вга «м®Ј®  аЈг¬Ґв : $a_n=f(n)$.
—Ёб«  $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$  §лў овбп з«Ґ ¬Ё Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвЁ,
  зЁб«® $a_n$ -- ®ЎйЁ¬ з«Ґ®¬ ¤ ®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвЁ.

{\bf ЏаЁ¬Ґал зЁб«®ўле Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвҐ©:}

$\{a_n\}=n^2$ -- ¬®®в® п, Ґ®Ја ЁзҐ п Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бм;

$\{a_n\}=1-(-1)^n$ -- Ґ ¬®®в® п, ®Ја ЁзҐ п Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м®бвм.

ЏаЁ¬Ґа®¬ зЁб«®ў®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвЁ пў«пҐвбп  вга «мл© ап¤, Є®в®ал©
¬®¦® § ЇЁб вм б Ї®¬®ймо аҐЄгааҐв®Ј® б®®в®иҐЁп $f_1=1$;
  $f_{n+1}=f_n+1,$
            Ј¤Ґ $f_n$ -- зЁб«®, $n$ -- ®¬Ґа зЁб« .

’ Є¦Ґ  ЇаЁ¬Ґа®¬ зЁб«®ў®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвЁ пў«пҐвбп
ап¤ зЁбҐ« ”ЁЎ® ззЁ, ®ЇаҐ¤Ґ«п¬л© аҐЄгаҐвл¬ б®®в®иҐЁ¬
$f_0=f_1=1$; $f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}$ .


{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ.} —Ёб«® $b$  §лў Ґвбп {\bf ЇаҐ¤Ґ«®¬ зЁб«®ў®©
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвЁ} $\{a_n\}$, Ґб«Ё ¤«п «оЎ®Ј® ¬ «®Ј® Ї®«®¦ЁвҐ«м®Ј® $\e>0$,
 ©¤Ґвбп в Є®© ®¬Ґа $N$, зв® ¤«п ўбҐе з«Ґ®ў
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвЁ б ®¬Ґа ¬Ё $n>N$ Ўг¤Ґв б®Ў«о¤ вмбп Ґа ўҐбвў®
$$|a_n-b|<\e.$$

ЏаҐ¤Ґ« зЁб«®ў®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвЁ ®Ў®§ з Ґвбп $\di{\lim_{n\to \infty}a_n}=b$
Ё«Ё $\{a_n\}\to b$ ЇаЁ $n\to \infty$. Џ®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвм, Ё¬Ґой п ЇаҐ¤Ґ«,
 §лў Ґвбп {\it бе®¤пйҐ©бп}, ў Їа®вЁў®¬ б«гз Ґ -- {\it  а бе®¤пйҐ©бп}.

‘ Ї®¬®ймо «®ЈЁзҐбЄЁе бЁ¬ў®«®ў ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ Ё¬ҐҐв ўЁ¤:
$$\left(b=\lim_{n\to \infty}a_n\right)\Longleftrightarrow
(\forall \e>0) (\exists N)(\forall n>N) |a_n-b|<\e.$$
‘¬лб« ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп зЁб«®ў®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвЁ б®бв®Ёв ў в®¬, зв® ¤«п ¤®бв в®з®
Ў®«миЁе $n$ з«Ґл Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвЁ $\{a_n\}$ Є Є гЈ®¤® ¬ «® ®в«Ёз овбп
®в зЁб«  $b$ Ї®  Ўб®«ов®© ўҐ«ЁзЁҐ.



\s{ЏҐаўл© Ё ўв®а®© § ¬Ґз вҐ«млҐ ЇаҐ¤Ґ«л}

{\it ЏҐаўл¬ § ¬Ґз вҐ«мл¬ ЇаҐ¤Ґ«®¬}  §лў Ґвбп ЇаҐ¤Ґ«
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.$$

Џ®Є ¦Ґ¬ нв®. „«п нв®Ј® а бб¬®ваЁ¬ ЄагЈ а ¤Ёгб®¬ $R$ б жҐва®¬ ў в®зЄҐ $O$.
Џгбвм $OB$ -- Ї®¤ўЁ¦л© а ¤Ёгб, ®Ўа §гойЁ© гЈ®« $x=\angle BOA$
$\left(0<x<\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\right)$ б ®бмо $Ox$ (б¬. аЁб.~2).

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(115,140){\special{em:graph F22.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}

€§ ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁе б®®Ўа ¦ҐЁ© б«Ґ¤гҐв,
зв® Ї«®й ¤м ваҐгЈ®«мЁЄ  $AOB$ ¬ҐмиҐ Ї«®й ¤Ё бҐЄв®а  $AOB$, Є®в®а п ў бў®о
®зҐаҐ¤м ¬ҐмиҐ Ї«®й ¤Ё Їап¬®гЈ®«м®Ј® ваҐгЈ®«мЁЄ  $AOC$, в.Ґ.
$$S_{\De AOB}<S_{sec,AOB}<S_{\De AOC}$$
’ Є Є Є
$$S_{\De AOB}=\frac{1}{2}R^2\sin x; S_{sec,AOB}=\frac{1}{2}R^2x;
S_{\De AOC}=\frac{1}{2}R^2 tg x$$
в® Ї®«гзЁ¬
$$\frac{1}{2}R^2\sin x<\frac{1}{2}R^2x<\frac{1}{2}R^2 tg x.$$

Џ®¤Ґ«Ёў нв® Ґа ўҐбвў®   $\di{\frac{1}{2}R^2\sin x}$, Ї®«гзЁ¬
$$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$$
Ё«Ё
$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$$

’ Є Є Є дгЄжЁЁ $\cos x$ Ё $\di{\frac{\sin x}{x}}$ зҐвлҐ, в® Ї®«гзҐлҐ
Ґа ўҐбвў  бЇа ўҐ¤«Ёўл Ё ЇаЁ $-\di{\frac{\pi}{2}<x<0}$.
ЏҐаҐе®¤п Є ЇаҐ¤Ґ«г ЇаЁ $x\to 0$, Ї®«гзЁ¬ $\di{\lim_{x\to 0}1=1}$,
$\di{\lim_{x\to 0}\cos x=1}$. Џ®нв®¬г бгйҐбвўгҐв ЇаҐ¤Ґ« Їа®¬Ґ¦гв®з®© дгЄжЁЁ
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.$$


ђ бб¬®ваЁ¬ ЇаЁ¬Ґал  е®¦¤ҐЁп ҐЄ®в®але ЇаҐ¤Ґ«®ў б ЁбЇ®«м§®ў ЁҐ¬
ЇҐаў®Ј® § ¬Ґз вҐ«м®Ј® ЇаҐ¤Ґ« .


{\bf ЏаЁ¬Ґа.  }
Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\di{\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x}}$.

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x}=\lim_{x\to 0}5\frac{\sin 5x}{5x}=
5\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=5,$$
Ј¤Ґ $t=5x$.
\vspace{0.3 cm}

{\bf ЏаЁ¬Ґа.  }
Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\di{\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}}$.

$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}=
\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x^2}{x^2}=\lim_{t\to 0}\frac{2\sin t}{t}=2,$$
Ј¤Ґ $t=x^2$.

\vspace{0.3 cm}

{\it ‚в®ал¬ § ¬Ґз вҐ«мл¬ ЇаҐ¤Ґ«®¬}  §лў Ґвбп ЇаҐ¤Ґ«
$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x.$$

ђ бб¬®ваЁ¬ зЁб«®ўго Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвм
$$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$

‚лзЁб«Ё¬ § зҐЁп ЇҐаўле з«Ґ®ў нв®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®вЁ. Џ®«гзЁ¬
$a_1=2$, $a_2=2.25$, $a_3=2.37$, $a_4=2.441$, $a_5=2.488$.
Њ®¦® ЇаҐ¤Ї®«®¦Ёвм, зв® Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвм ${a_n}$ пў«пҐвбп ў®§а бв ойҐ©.
Џ®Є ¦Ґ¬ нв®.

‚®бЇ®«м§гҐ¬бп д®а¬г«®© ЎЁ®¬  Ќмов® \footnote{‚лў®¤ б¬.,  ЇаЁ¬Ґа,
Ќ.џ.‚Ё«ҐЄЁ Ё ¤а. Ђ«ЈҐЎа  Ё ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁ©   «Ё§ ¤«п
10 Є« бб ,Њ., "Џа®бўҐйҐЁҐ" 1995, ‘.211}
$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots+
\frac{n!}{(n-r)!r!}x^r+\cdots,$$
Ј¤Ґ $x^2<1$. ќв  д®а¬г«  б®¤Ґа¦Ёв $(n+1)$ б« Ј Ґ¬®Ґ.

€бЇ®«м§гп нвг д®а¬г«г § ЇЁиҐ¬ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвм ${a_n}$ ў ўЁ¤Ґ
$$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=$$
$$=1+n\cdot\frac{1}{n}+
\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\frac{1}{n^2}+\cdots+
\frac{n(n-1)\cdots (n-(n-1))}{1\dot 2\cdots n}\frac{1}{n^n}+\cdots+$$
ЏҐаҐЇЁиҐ¬ нвг д®а¬г«г
$$a_n=$$
$$=2+\frac{1}{1\cdot 2}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+
\frac{1}{1\cdot 2\cdots n}\left(1-\frac{1}{n}\right)
\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{n-1}{n}\right)+\cdots+$$

‘ гўҐ«ЁзҐЁҐ¬ $n$ гўҐ«ЁзЁў Ґвбп зЁб«® Ї®«®¦ЁвҐ«мле б« Ј Ґ¬ле
(Ёе ў нв®© д®а¬г«Ґ $n+1$),   в Є¦Ґ ўҐ«ЁзЁ  Є ¦¤®Ј® б« Ј Ґ¬®Ј®, в.Ґ.
$$a_1<a_2<\cdots <a_n<\cdots.$$
Џ®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвм ${a_n}$ ®Ја ЁзҐ . ќв® б«Ґ¤гҐв Ё§ Ї®б«Ґ¤Ґ©
д®а¬г«л ¤«п $a_n$, Ґб«Ё ®ЇгбвЁвм ¬®¦ЁвҐ«Ё, бв®пйЁҐ ў ЄагЈ«ле бЄ®ЎЄ е,
Є ¦¤л© Ё§ Є®в®але ¬ҐмиҐ Ґ¤ЁЁжл.
$$a_n<2+\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{1 \cdot 2\cdot 3}
 +\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}
\cdots
+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}$$
Ља®¬Ґ в®Ј®
$$a_n<2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots \frac{1}{2^{n-1}}.$$

ЌҐваг¤® ўЁ¤Ґвм, зв® бг¬¬ 
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots \frac{1}{2^{n-1}}$$
ЇаҐ¤бв ў«пҐв б®Ў®© ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄго Їа®ЈаҐббЁо  б ЇҐаўл¬ зҐ®¬
$a=0.5$ Ё § ¬Ґ вҐ«Ґ¬ $q=\di{\frac12}$.
…Ґ бг¬¬ 
$$S_{n-1}=\frac{a(q^{n-1})}{q-1}=1-\frac{1}{2^{n-1}}<1.$$
Џ®нв®¬г Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвм $a_n$ ®Ја ЁзҐ  бўҐаег $a_n<2+1=3$.

{\bf  ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ. {\it —Ёб«®¬ $Ґ$ (ўв®ал¬ § ¬Ґз вҐ«мл¬ ЇаҐ¤Ґ«®¬) }}
{\it  §лў Ґвбп ЇаҐ¤Ґ« зЁб«®ў®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м®бвЁ}
$$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$
—Ёб«® $e$ -- Ёаа жЁ® «м®Ґ зЁб«®
$$e=2.718281828\cdots$$

ЏҐаўлҐ ¤Ґбпвм жЁда нв®Ј® зЁб«  Ґваг¤® § Ї®¬Ёвм, ЁбЇ®«м§гп б«Ґ¤гойҐҐ
Їа ўЁ«®. ‚ з «Ґ $2.7$,   § вҐ¬ ¤ў ¦¤л "‹Ґў ’®«бв®©", в.Ґ. Ј®¤
а®¦¤ҐЁп ‹мў  ЌЁЄ®« ҐўЁз  ’®«бв®Ј® 1828.

Њ®¦® Ї®Є § вм, зв® дгЄжЁп
$$y(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$$
ЇаЁ $x\to +\infty$ Ё ЇаЁ $x\to -\infty$ в ¦Ґ Ё¬ҐҐв ЇаҐ¤Ґ«, а ўл© $e$.
$$e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x.$$
‡ ¬Ґпп $x$   $x=1/t$ Ї®«гзЁ¬ ҐйҐ ®¤г § ЇЁбм зЁб«  $e$
$$e=\lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}.$$

—Ёб«® $e$ (зЁб«® ќ©«Ґа  Ё«Ё ҐЇҐа®ў® зЁб«®) ЁЈа Ґв ў ¦го а®«м
ў ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®¬   «Ё§Ґ.

”гЄжЁп $y=e^x$ ®бЁв  §ў ЁҐ {\it нЄбЇ®Ґвл.}
…б«Ё Ї®Є § вҐ«м нЄбЇ®Ґвл Ја®¬®§¤ЄЁ©, в® ҐҐ ЇаЁпв® § ЇЁблў вм ў ўЁ¤Ґ:
$\exp(x)$.

‹®Ј аЁд¬ Ї® ®б®ў Ёо $e$  §лў вбп  вга «мл¬. …Ј® ®Ў®§ з ов
бЁ¬ў®«®¬ $\ln$, в.Ґ. $\log_ex=\ln x$.

‚ ¦го а®«м ў ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®¬   «Ё§Ґ ЁЈа ов в Є¦Ґ
{\it ЈЁЇҐаЎ®«ЁзҐбЄЁҐ дгЄжЁЁ}
({\it ЈЁЇҐаЎ®«ЁзҐбЄЁ© бЁгб, ЈЁЇҐаЎ®«ЁзҐбЄЁ© Є®бЁгб,
ЈЁЇҐаЎ®«ЁзҐбЄЁ© в ЈҐб}), ®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬лҐ д®а¬г« ¬Ё:
$$\sh(x)=\frac{\exp(x)-\exp(-x)}{2};$$
$$\ch(x)=\frac{\exp(x)+\exp(-x)}{2};$$
$$\th(x)=\frac{\sh(x)}{\ch(x)}.$$

ђ бб¬®ваЁ¬ ЇаЁ¬Ґал  е®¦¤ҐЁп ҐЄ®в®але ЇаҐ¤Ґ«®ў б ЁбЇ®«м§®ў ЁҐ¬
ўв®а®Ј® § ¬Ґз вҐ«м®Ј® ЇаҐ¤Ґ« .

{\bf ЏаЁ¬Ґа.  }
Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}}$.
$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}\ln(1+x)^{1/x}=
\lim_{x\to 0}\ln e=1.$$

€в Є $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}}=1$.
\vspace{0.3 cm}

{\bf ЏаЁ¬Ґа.  }
Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}}$.

Џгбвм $\displaystyle{a^x-1=u}$. ’®Ј¤  $\displaystyle{a^x=1+u}$;
$\displaystyle{x=\frac{\ln(1+u)}{\ln a}}$.
$$\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{u\to 0}\frac{u\ln a}{\ln(1+u}=
\ln a\cdot \lim_{u\to 0}\frac{u}{\ln(1+u)}=\ln a\cdot 1=\ln a.$$
€в Є $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}}=\ln a$.
\vspace{0.3 cm}



{\bf ЏаЁ¬Ґа.   }
Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^m-1}{x}}$, Ј¤Ґ $m$ --
¤Ґ©бвўЁвҐ«м®Ґ зЁб«®.

ђ бб¬®ваЁ¬ з бвл© б«гз ©, Є®Ј¤  $m$ --  вга «м®Ґ.
‚®бЇ®«м§гҐ¬бп д®а¬г«®© ЎЁ®¬  Ќмов® . ’®Ј¤ 
$$\frac{(1+x)^m-1}{x}=
\frac{mx+\displaystyle{\frac{m(m-1)}{1\cdot 2}}x^2+\cdots}{x}
=m+\frac{m(m-1)}{1\cdot 2}x+\cdots,$$
Ё
$$\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^m-1}{x}=
\lim_{x\to 0}\left[m+\frac{m(m-1)}{1\cdot 2}x+\cdots\right]=m.$$

€в Є $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^m-1}{x}}=m$.
\vspace{0.3 cm}



{\bf ЏаЁ¬Ґа.  }

Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(x)^{F(x)}}$, Ј¤Ґ
$\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(x)=1}$,
$\displaystyle{\lim_{x\to \infty}F(x)=\infty}$.

Џгбвм $f(x)=1+g(x)$.
’®Ј¤  $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}g(x)=0}$ Ё
$$\lim_{x\to \infty}f(x)^{F(x)}=
\lim_{x\to \infty}\left[1+g(x)\right]^{\displaystyle{\frac{1}{g(x)}}
\cdot g(x)F(x)}.$$
Ќ®
$$\lim_{x\to \infty}\left[1+g(x)\right]^{\displaystyle{\frac{1}{g(x)}}}
=\lim_{g\to 0}\left[1+g\right]^{\displaystyle{\frac{1}{g}}}=e,$$
Ё
$$\lim_{x\to \infty}f(x)^{F(x)}=
\exp\left[\lim_{x\to \infty}g(x)F(x)\right].$$
€в Є $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(x)^{F(x)}}=
\exp\left\{\displaystyle{\lim_{x\to \infty}[(f(x)-1)]F(x)}\right\}$.
\vspace{0.3 cm}

‘ Ї®¬®ймо Ї®«гзҐ®© д®а¬г«л  ©¤Ґ¬ ЇаҐ¤Ґ«
$\displaystyle{\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{2+x}\right)^{3x}}.$
‡¤Ґбм $f(x)=\displaystyle{\left(\frac{x}{2+x}\right)}$,
  $F(x)=3x$. Џ®«гз Ґ¬
$$\displaystyle{\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{2+x}\right)^{3x}}=
\exp\left[\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{2+x}-1\right)3x\right]=
e^{-6}.$$

\end{document}
Соседние файлы в папке ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1
#
01.05.201422.51 Кб48F11.pcx
#
01.05.201417.52 Кб34F22.pcx
#
01.05.201431.58 Кб31PO_1.TEX